Математика

Тема 12: Квадратные уравнения. Профильный уровень

Урок 14: Теорема Виета. Решение задач

Теория

Заметили ошибку?

Введение

Теорему Виета мы доказали на прошлом уроке. Она связывает корни квадратного уравнения и коэффициенты этого уравнения. Напомним ее:

Числа , являются корнями уравнения , тогда и только тогда, когда пара является решением системы:

Cфера применения теоремы Виета весьма обширна. Здесь мы рассмотрим основные типы задач, в которых она применяется.

Прежде всего, теорема Виета дает еще один способ нахождения корней уравнения и их проверки.

Задача 1

Найти и проверить корни уравнения .

Решение

Во-первых, корни мы можем найти через дискриминант:

Итак, корни найдены, их надо проверить.

Первый способ проверки – подстановка в исходное уравнение. Второй способ – подставить корни в теорему Виета. Используем второй способ:

– верно

Корни найдены правильно.

Ответ: ; .

b) Кроме того, теорема Виета дает новый способ нахождения корней:

Если разложить и зная, что сумма корней равна -7, можно легко подобрать корни уравнения.

Получили тот же самый ответ.

Ответ:; .

Итак, на примере данного несложного примера мы показали, что теорема Виета позволяет проверить корни и найти эти корни методом подбора.

Задача 2

Найти корни уравнения

Это уравнение можно решить через дискриминант, но это очень неудобно.

Взглянув на это уравнение можно заметить, что является корнем уравнения.

Один корень мы подобрали, как найти второй? Воспользуемся теоремой Виета, согласно ей произведение корней уравнения:

Подставим в равенство найденный корень:

Итак, нам нужно было решить уравнение. Первый корень мы подобрали, второй нашли по теореме Виета.

Ответ:; .

Теорема Виета позволяет легко найти сумму и произведение корней, не зная самих корней. Это является ключом к решению многих задач, в которых не требуется найти корни, но требуется найти выражения, которые зависят от суммы и произведения корней. В общем виде – найти функцию , которая зависит от суммы корней и от их произведения.

Рассмотрим конкретную задачу.

Задача 3

Для уравнения , найти:

a) ;

b) ;

c) .

Решение

Заметим, что дискриминант . Значит, у уравнения существуют два корня, .

Эту задачу можно решить, найдя его корни через дискриминант и произведя над корнями все действия, но можно поступить более изящно, используя теорему Виета.

Здесь мы выделили полный квадрат суммы, теперь составим систему по теореме Виета:

Подставим в наш пример:

b) Приведем к общему знаменателю:

Значение выражения в знаменателе уже можно найти. В числителе наша цель – выразить сумму кубов через сумму и произведение корней:

Можно подставлять значения:

Ответ: 11, -36, 119.

Теорема Виета используется в так называемых задачах «с параметрами». Рассмотрим одну из таких задач.

Задача 4

Найти все , при каждом из которых отношение корней уравнения равно 12.

Решение

Есть параметр . При некоторых значениях у уравнения может вообще не быть корней, при других значениях корни будут , но нужно подыскать такие значения параметра, при которых корни отличаются в 12 раз.

Сформируем систему, из которой мы найдем :

Мы получили систему трех уравнений относительно трех неизвестных: , , .

Решим систему. Заметим, что первые два уравнения зависят только от и , если мы их решим, то подставим в третье уравнение и найдем .

Подставим значение из первого уравнения во второе:

Рассмотрим оба варианта :

Подставляем в третье уравнение:

Первый ответ получен.

Подставляем в третье уравнение:

Ответ:; .

Задача решена.

Сделаем следующие примечания: при найденных система

имеет решение, значит, и само квадратное уравнение имеет решение и проверять дискриминант не нужно. Дискриминант будет больше нуля, поскольку система и квадратное уравнение равносильны в силу теоремы Виета.