Математика

 

 

Тема: Квадратные уравнения

 

Урок: Повторение теории. Задачи повышенной сложности

 

1. Повторение теории

 

 

Как мы с вами помним, основой теории данной темы являются формулы для вычисления корней квадратного уравнения, формула разложения квадратного трёхчлена на множители и теорема Виета.

 

Довольно много задач в математике сводится к решению квадратных уравнений. Некоторые примеры подобных задач мы с вами сейчас рассмотрим.

 

2. Решение задач

 

 

Задача №1

 

Решите уравнение  .

Перед нами обычное квадратное уравнение, которое, однако, имеет некоторое осложнение в виде модуля.

Для начала давайте вспомним, что такое модуль: .

Из определения модуля следует правило решения квадратных уравнений, которые содержат модуль: при решении квадратных уравнений, в которых содержится модуль, необходимо раскрыть этот модуль на основе стандартного определения модуля.

Решение

Мы имеем уравнение  . По определению модуля, он раскрывается на 2 случая, так что теперь рассмотрим эти случаи отдельно:

Если мод модулем у нас стоит число, больше или равное 0, то значок модуля мы можем просто выбросить, при этом не забывая про знак числа.  (а)

Если мод модулем у нас стоит число отрицательное, то мы убираем значок модуля, но при этом меняем знак числа, находящегося под знаком модуля.  (б)

После раскрытия модуля мы можем сказать, что исходное уравнение равносильно совокупности систем, полученных после раскрытия модуля, т. е.

 ó  .

Теперь решим каждую из систем отдельно:

(а)

Мы помним, что произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0, т. е.  => .

Теперь давайте вспомним, что у нас было условие, что  , поэтому после нахождения корней в данном случае мы должны проверить, удовлетворяют ли они нашему условию:

. Таким образом, мы видим, что оба корня удовлетворяют условию, поэтому мы можем сказать, что  – корни заданного уравнения.

Но теперь давайте вспомним, что корней может быть и больше, т. к. есть второй вариант раскрытия модуля. Давайте решим его:

(б)

Как и в случае (а), решаем данное уравнение, получая следующие корни: =>.

Далее вспоминаем об условии решения данной части исходного уравнения () и проверяем, удовлетворяют ли этому условию корни, которые мы получили:

 – это неправильное равенство, поэтому корень  не является корнем исходного квадратного уравнения при условии, что . Проверим второй корень:  – этот корень удовлетворяет условиям, поэтому можем записать следующую систему:  .

Итак, первая система (а) дала нам два корня, вторая система (б) дала один корень, поэтому теперь в ответ мы можем выписать все найденные нами корни исходного квадратного уравнения.

Ответ:  .

Итак, в этом примере мы решили квадратное уравнение, которое было осложнено модулем, где вместо простого решения квадратного уравнения нам пришлось решать две системы уравнений.

Задача №2

Решите уравнение .

Если в данном случае мы просто «в лоб» возведём в квадрат первую скобку, то получим уравнение четвёртой степени, которое решать будет уже сложнее. Помимо этого, мы такого раньше не делали, т. е. это является для нас подсказкой к следующим действиям. Вместо этого мы воспользуемся методом «замены переменных», т. е. вместо какого-то выражения мы подставим на время другую переменную и решим исходное уравнение относительно неё.

Решение

Итак, сделаем следующую замену:  , тогда мы получим следующую систему:

А теперь решим новое квадратное уравнение относительно y с помощью теоремы Виета:

 =>  .

Теперь необходимо вернуться к исходной системе и сделать обратную замену:

Таким образом мы получили корни исходного квадратного уравнения, используя метод замены.

Ответ:  .

Задача №3

Решите уравнение  .

Мы говорили, что в предыдущем примере метод замены был довольно явно виден невооружённым глазом, в данном же случае, на первый взгляд, абсолютно не понятно, как же решать данное уравнение. Однако мы понимаем, что раскрывать скобки и приводить это уравнение к уравнению четвёртой степени – это неправильно и сложно, поэтому будем искать замену переменных.

Решение

Поскольку на первый взгляд нам не понятно, какую же делать замену, можно сделать это наугад, а можно чуть помочь себе, записав исходное уравнение следующим образом:

 , теперь нам видно, что  , поэтому попробуем объединить первую с четвёртой скобки и вторую с третьей.

Теперь мы видим, какую же замену переменных стоит сделать:

Решим новое квадратное уравнение

Решим полученное уравнение с помощью обратной теоремы Виета:

Не забываем, что необходимо проверить, существуют ли корни данного уравнения в принципе, для этого посчитаем дискриминант получившегося квадратного уравнения: , т. е. у данного выражения корни есть.

 =>

Теперь делаем обратную замену.

И подставляем полученные значения вместо  в уравнения:

(б)

Вычислим дискриминант: 

, поэтому в данном случае не существует ни одного корня.

Т. е. в данном случае нет корней (это также можно записать символами  , где  .

(а)

Вычислим дискриминант: 

> 0, поэтому существует два различных вещественных корня. Найдём их.

 .

Ответ:  .

Мы рассмотрели несколько примеров, где решение уравнений осуществляется с помощью приведения их к виду обычного квадратного уравнения путём замены переменных.

Задача №4

Решите уравнение  .

Мы видим, что первая и вторая скобки похожи, но в первой  возведён в квадрат.

Предположительно сделаем следующую замену:

Что же нам теперь делать с первой скобкой? Необходимо тоже выразить её через y. Для этого возведём обе части в квадрат:

Вернёмся к исходному уравнению и запишем его использовав замену:

А теперь решим данную систему:

По теореме Виета находим корни:

 =>

Теперь делаем обратную замену:

Поскольку такие уравнения решать мы умеем, то только наметим их ход решения: сведём их к квадратному, учитывая, что знаменатель не равен 0, и решим каждое в отдельности.

Решением всей задачи будет следующий ответ:  .

Ответ:  .

 

3. Выводы

 

 

Итак, мы повторили теорию, связанную с квадратными уравнениями (основные формулы, теорему Виета и формулы разложения на множители). Затем рассмотрели более сложные задачи, а именно решение квадратных уравнений или тех, которые сводятся к квадратным, методом замены переменных.

 

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогический идей «Открытый урок» (Источник).
2. Интернет-портал Egesdam.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решите уравнения: а) ; б) ;
2. Найдите сумму квадратов корней уравнения: а) ; б) ;
3. Тест к главе 3 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.