Математика

Тема 12: Квадратные уравнения. Профильный уровень

Урок 3: Квадратные уравнения

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Составление уравнений

Когда вы просыпаетесь утром и слышите за окном размеренный стук капель, то сразу понимаете, что на улице идет дождь. Для этого вам даже не надо выглядывать в окно. Или мама приготовила вам с братом 5 бутербродов в школу. Увидев только 2 бутерброда, вы понимаете, что ваш брат взял с собой 3, хотя и не видели, как он это сделал.

В жизни мы часто сталкиваемся с такими ситуациями: наблюдаем одно, а на основании этих наблюдений делаем выводы о другом. Если речь идет о числовых величинах, то по результатам наблюдений мы можем составить уравнение для получения вывода – нахождения неизвестной величины.

Как измерить толщину листа бумаги? Обычная линейка не подойдет – у нее цена деления больше измеряемой величины. Но можно воспользоваться тем, что толщина у листов, обычно, практически одинаковая. Значит, если взять много листов, то толщина одного – это толщина пачки, разделенная на количество листов в ней.

Получаем метод измерения: взять пачку такой толщины, чтобы ее можно было достаточно точно измерить имеющейся линейкой, затем посчитать количество листов в ней. Если, к примеру, толщина пачки из 500 листов оказалась равной , то получаем уравнение:

Откуда толщина одного листа:

Другой пример. Вам нужно посчитать, сколько конфет лежит в пакете. Конечно, это можно сделать напрямую. Ну, а если конфет очень много? Выход есть! Если мы знаем массу одной конфеты (например, на упаковке написано: 15 г), то можем взвесить весь пакет (пусть получилось 1800 г). Обозначив количество конфет за , составляем уравнение:

Решая уравнение, получаем ответ:

Квадратные уравнения

Полученные в примерах уравнения: и – это линейные уравнения (уравнения вида ). С ними и с задачами, которые ими описываются, мы уже умеем работать.

Но в линейных уравнениях переменная всегда в первой степени (. Понятно, что так будет не всегда. Например, если мы ищем сторону квадрата с площадью , то должны решить уравнение: , которое уже не будет линейным (логично так и назвать его – нелинейным).

Многие задачи могут быть смоделированы нелинейными уравнениями. Например, для нахождения минимальной начальной скорости мяча , с которой нужно его подбросить, чтобы он перелетел через забор высотой метра, нужно решить квадратное уравнение .

Как получилось такое уравнение?

Воспользуемся формулой из курса физики, а именно – формулой для вычисления расстояния, которое прошло тело при равноускоренном движении.

Когда мы подбрасываем мяч, то на него действует только сила тяжести, т.е. мяч движется с ускорением , которое направлено вниз. Пока мяч летит вверх, это ускорение замедляет его начальную скорость до (в верхней точке), а когда он начинает падать, наоборот, разгоняет (увеличивает скорость).

Рис. 1. Когда мяч начинает падать, ускорение увеличивает его скорость

В этом случае расстояние от земли до мяча можно вычислить по формуле:

где – начальная скорость мяча, – скорость мяча на данной высоте, – ускорение свободного падения:

Мяч перелетит через забор, если высота его подлета станет равной высоте забора:

Т.к. мы ищем минимальную скорость, то достаточно, чтобы это была верхняя точка траектории, т.е. скорость мяча в ней равнялась

Кроме того, мы обозначили:

Получаем:

Откуда:

Подробнее о решении таких задач (и о том, откуда взялась использованная нами формула) вы узнаете на уроках физики в 9 классе

Рассмотрим два линейных уравнения:

Если мы их перемножим, то получим уравнение:

Понятно, что у этого уравнения два корня: и , потому что произведение равно только тогда, когда хотя бы один из множителей равен .

Если мы раскроем скобки в левой части, то получим уравнение:

Мы получили пример простейшего нелинейного уравнения – квадратного уравнения.

Строгое определение: квадратное уравнение – это уравнение вида:

где – заданные числа (коэффициенты квадратного уравнения), причем, ведь если , то уравнения будет линейным .

Алгоритм решения квадратных уравнений

В рассмотренном нами примере квадратное уравнение можно решить, разложив левую часть на множители:

Но для любых ли можно разложить квадратный трехчлен (так называется выражение в левой части квадратного уравнения – три члена – три слагаемых, старшая степень – квадрат) на линейные множители?

Например, разложить на множители нам не удастся, у уравнения нет действительных корней (потому что, как мы знаем, квадрат действительного числа не может быть отрицательным: ).

Но можно ли как-то определить наличие или отсутствие корней квадратного уравнения по его коэффициентам? Оказывается, да. И это мы сегодня тоже научимся делать.

Итак, как решать квадратные уравнения? Один способ мы уже нашли – попытаться разложить левую часть на линейные множители, и приравнять каждый из них к . Алгоритм будет следующий:

перенести все слагаемые в одну сторону;
разложить полученное выражение на множители;
решить полученные линейные уравнения.

Для разложения на множители, можем использовать различные уже известные нам приемы:

вынесение множители за скобки;
формулы сокращенного умножения;
метод группировки;
выделение полного квадрата.

Повторить эти методы вы можете, посмотрев урок «Разложение многочленов на множители»

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение.

Перенесем слагаемое из правой части уравнения в левую:

Представим число так:

Тогда:

Применяем формулу разности квадратов:

Откуда:

Часто в квадратных уравнениях получается ответа, поэтому возле неизвестной ставят индексы и записывают так:

Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение:

Решение.

Выносим общий множитель за скобки:

Тогда:

Ответ: .

Неполные квадратные уравнения

Рассмотренные квадратные уравнения называются неполными квадратными уравнениями. Если вы сравните их с общим видом квадратного уравнения: , то поймете, почему.

Так, в уравнении отсутствует слагаемое с , т.е. в нем коэффициент . В уравнении отсутствует свободный член, т.е. . Рассмотрим еще несколько примеров неполных квадратных уравнений.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение.

Чтобы использовать здесь формулу разности квадратов, вспомним соотношение для квадратных корней:

для любого неотрицательного . Соответственно:

Тогда:

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение:

Решение.

Формулы для суммы квадратов нет, поэтому мы не можем разложить левую часть уравнения на множители. В таком случае, уравнение не имеет решений. Покажем это:

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицательная величина, значит, нельзя найти такое значение , при котором .

Ответ: нет действительных корней.

С примером ситуации, когда квадратное уравнение не имеет решений, можно ознакомиться ниже.

Пример задачи, которая не имеет решения

Уравнения возникают, как модели для решения некоторых задач. Понятно, что некоторые задачи могут не иметь решения, а, значит, не будет иметь решения и соответствующее уравнение.

Вернемся к примеру с мячом, который бросают вертикально вверх. Выше мы говорили о формуле для пройденного мячом расстояния:

Если воспользоваться тем, что скорость при таком движении изменяется по формуле: , то получим:

Тогда, если тело подбросили вертикально вверх со скоростью м/с, то зависимость высоты над поверхностью будет иметь вид:

Чтобы определить время, через которое тело будет находиться на высоте метра, нужно будет решить уравнение:

На высоте м – уравнение:

Но тело, брошенное вертикально со скоростью м/с, не долетит до высоты метров (максимальная высота составит метров). Поэтому вполне естественно, что уравнение не будет иметь решений.

Когда мы говорим о том, что квадратное уравнение не будет иметь корней, то всегда будем говорить о действительных (вещественных) корнях. Мы говорили, что можно расширить такой инструмент число и ввести числа, квадрат которых может быть отрицательным (см. рис. 1):

Рис. 1. Действительные и комплексные числа

Такие числа называются комплексными. Если рассматривать решение квадратного уравнения на множестве комплексных чисел, то у него всегда будет два корня. Например:

Но, если по определению:

то:

Тогда:

Решение квадратных уравнений

Рассмотрим еще несколько примеров квадратных уравнений.

Пример 5. Решить уравнение:

Решение.

Здесь видим формулу полного квадрата:

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение:

Решение.

ФСУ здесь не видно, поэтому применим метод выделение полного квадрата. Квадрат первого выражения уже есть . Далее должно идти удвоенное произведение: . Глядя на выражение, видим, что вместо знака вопроса должно быть (чтобы получить ):

Для полного квадрата не хватает квадрата второго выражения. Добавим и вычтем его:

Не забудем о последнем слагаемом :

Получим разность квадратов :

Ответ: .

Дискриминант квадратного уравнения

Итак, раскладывая на множители левую часть, мы можем решить любое квадратное уравнение. Если же разложить на множители нельзя, то уравнение не будет иметь решений. Это один из методов решения. Но, обратите внимание, он эффективно работал, когда нам удавалось легко разложить левую часть на множители.

Универсальный метод – это метод выделения полного квадрата, но, как мы видели на примере, он может быть достаточно громоздким. Попробуем с его помощью вывести готовую формулу для вычисления корней квадратного уравнения по его коэффициентам.

Квадратное уравнение в общем виде можно преобразовать к виду:

Преобразование квадратного уравнения

Квадратное уравнение:

Поскольку , можем разделить обе части уравнения на :

Второе слагаемое должно представлять из себя удвоенное произведение:

Выделим полный квадрат – прибавим и вычтем :

Рассмотрим подробнее вторую дробь:

Поэтому знак дроби определяется знаком выражения . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения:

В зависимости от знака дискриминанта, получаем разные решения:

1. если , то можно записать:

Тогда:

Получаем:

Используем формулу разности квадратов:

Получаем корни:

В этом случае уравнение имеет два корня. Их можно записать одной формулой:

2. если , то:

Получаем:

Получаем один корень уравнения. Иногда еще говорят, что «уравнение имеет два совпадающих корня». Полученное выражение для корня уравнения согласуется с формулой для квадратных корней при положительном дискриминанте:

3. если, то разложить на множители левую часть не удастся. При этом квадратное уравнение не будет иметь корней. Покажем это:

В левой части стоит неотрицательное выражение. В правой части – отрицательное:

Таким образом, уравнение не имеет решений в действительных числах.

Решим несколько квадратных уравнений, используя полученные формулы. Начнем с уравнения, которое мы уже решали.

Пример 6*. Решить уравнение:

Решение.

Сравнивая с общим видом уравнения , выпишем коэффициенты:

Считаем дискриминант:

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

Естественно, получаем те же корни, что были получены при решении другим методом.

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение:

Решение.

Сравнивая с общим видом уравнения , выпишем коэффициенты:

Считаем дискриминант:

Дискриминант , уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет действительных корней.

С решением еще одного квадратного уравнения вы можете ознакомиться ниже.

Решение еще одного квадратного уравнения

Пример. Решить уравнение:

Решение.

Выпишем коэффициенты:

Считаем дискриминант:

Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня:

Используем свойства корня, чтобы упростить выражения (см. урок «Свойства квадратного корня»):

Получаем:

Ответ: .

Теорема Виета

Чтобы рассмотреть еще один способ решения, снова обратимся к общему виду квадратного уравнения . Поскольку , можем разделить обе части уравнения на :

Для удобства введем новые обозначения:

Получим:

Теперь в уравнении коэффициент при равен . Квадратное уравнение в таком виде называют приведенным квадратным уравнением.

В рассмотренных ранее методах решения мы убедились, что если мы можем разложить левую часть уравнения на множители, то уравнение имеет корни.

Верно и обратное утверждение: если данное уравнение имеет корни, то его левую часть можно разложить на множители. Причем, это разложение будет иметь вид:

где и – это корни уравнения.

Из этого утверждения мы получаем два важных следствия.

Следствие 1. Мы получили еще один способ разложения на множители: многочлен вида можно представить в виде , где и – корни уравнения .

Чтобы получить второе следствие, раскроем скобки в левой части равенства:

Сравнивая коэффициенты в левой и правой части, получаем:

Или:

Эти соотношения являются записью теоремы Виета. Итак, мы получили еще один способ решения квадратного уравнения: если подобрать такие числа и , что:

то они будут корнями приведенного квадратного уравнения .

Пример 8. Решить уравнение:

Решение.

Составим приведенное квадратное уравнение:

По теореме Виета:

Подберем такие числа, которые удовлетворяют этим условиям. Этими числами являются и , ведь:

Таким образом:

Ответ: .

С несколькими рекомендациями о том, как быстро подбирать корни по теореме Виета, вы можете ознакомиться ниже.

Подбор корней

Несколько рекомендаций по подбору корней.

1. Лучше всего подбор начинать с произведения корней. Раскладываете свободный член на множители и проверяете, выполняется ли соотношение для суммы корней:

можно разложить на и ; сумма будет – не подходит. Можно на и ; сумма равна – подходит:

2. Подбирая корни, можно сначала подобрать модули корней, а затем уже определиться с их знаками. Рассмотрим на примере:

Знак перед свободным членом «плюс», значит, корни одного знака. Поэтому раскладываем на множители так, чтобы сумма была . Подходят и . Теперь определяемся со знаками. Сумма корней равна , значит, числа берем со знаком «минус»:

Еще пример:

Знак перед свободным членом «минус», значит, корни разного знака. Поэтому раскладываем на множители так, чтобы разность была равна . Подходят и . Теперь определяемся со знаками. Сумма корней равна , значит, должно быть со знаком «плюс», а – со знаком «минус»:

3. Теорему Виета удобно применять к приведенному уравнению с целочисленными коэффициентами. Но если изначально в уравнении коэффициент , то могут возникнуть дробные числа, с которыми работать менее удобно:

Этого можно избежать, рассмотрев другое приведенное уравнение:

Сделав замену , получаем приведенное квадратное уравнение:

Задача свелась к нахождению таких корней уравнения , произведение которых равно, а сумма равна . Корни исходного уравнения будут в раз меньше:

Рассмотрим на примере уравнения:

Ищем числа, произведение которых равно , а сумма равна . Это числа и . Корни исходного уравнения в раза меньше этих чисел, т.е.

Разберем несколько типичных заданий, в которых удобно использовать теорему Виета.

Задание 1. Один из корней уравнения равен . Определить второй корень уравнения.

Решение.

Составим приведенное квадратное уравнение:

По теореме Виета:

Один из корней равен единице , тогда:

Ответ: .

Задание 2. Найти значение выражения:

где и – корни уравнения:

Решение.

Конечно, можно найти корни уравнения с помощью дискриминанта и затем вычислить сумму кубов. Но вы можете убедиться, что корни не будут целыми числами, поэтому расчеты будут затруднительны. Данное задание удобнее решать с помощью теоремы Виета:

Выразим искомое выражение через сумму и произведение корней. Используем формулу суммы кубов :

Можем подставить значения из теоремы Виета:

Осталось выразить . Для этого выделим полный квадрат:

Подставляем значения из теоремы Виета:

Таким образом:

Ответ: .

Заключение

Мы рассмотрели несколько способов решения квадратных уравнений.

Разложение на множители. Этим методом быстро и удобно решать неполные квадратные уравнения.
Использование готовых формул для корней квадратного уравнения. Этот алгоритм является наиболее универсальным и четким: можно решить любое квадратное уравнение и есть строгий алгоритм действий.
Использование теоремы Виета. Позволяет подбирать корни квадратного уравнения. Способ удобен для уравнений, корни которого являются целыми числами.

Какой способ лучше? Попробуйте сами и выберите наиболее удобный для себя: кому-то легче угадывать по теореме Виета, а кто-то будет четко идти по алгоритму, считая дискриминант. Различие понятно – подобрать корни по теореме Виета можно не всегда, и здесь больше элемент везения, а считать через дискриминант – это всегда наверняка, но дольше.

Итак, вы уже знаете алгоритмы решения линейных и квадратных уравнений. Естественно, при моделировании различных задач могут встретиться и более сложные уравнения. Некоторые из них можно свести к решению линейных и квадратных уравнений.

С тем, как это можно сделать, вы познакомитесь на практическом занятии. В общем виде также можно выписать формулы для решения любого уравнения 3 и 4 степени. Но эти алгоритмы решения не входят в курс школьной алгебры, поскольку они достаточно сложные и требуют введения понятия комплексного числа.

Интересна ситуация с уравнениями 5 и выше степени. Есть теорема о существовании корней этих уравнений. А другая теорема утверждает, что не существует алгоритмов, позволяющих найти точные решения этих уравнений в общем виде. Для уравнений 5 и выше степеней решения можно найти только для некоторых уравнений или же найти корни любого, но приближенно. Вот такая вот ситуация: решения есть, а универсальной формулы для их нахождения нет.

Список рекомендованной литературы.

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра. 8 класс. Учебник. ФГОС, издательство «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра. 8 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра. 8 класс. Учебник, издательство «Просвещение», 2018

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет.