Математика

Числовые неравенства и их свойства. Сложение и умножение числовых неравенств.

Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, <, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: a=b, a<b, a>b.

Пример 1. Сравним обыкновенные дроби $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$.

Для этого приведем их к общему знаменателю: $\frac{5}{8}=\frac{35}{56}$; $\frac{4}{7}=\frac{32}{56}$.

Так как 35>32, то $\frac{5}{8}>\frac{4}{7}$.

Пример 2. Сравним десятичные дроби 3,6748 и 3,675.

Цифры в разрядах единиц, десятых и сотых совпадают, а в разряде тысячных в первой дроби стоит цифра 4, а во второй – цифра 5. Так как 4<5, то 3,6748<3,675.

Пример 3. Сравним обыкновенную дробь $\frac{9}{20}$ и десятичную дробь 0,45. Обратив дробь $\frac{9}{20}$ в десятичную, получим, что $\frac{9}{20}=0,45$.

Пример 4. Сравним отрицательные числа -15 и -23. Модуль первого числа меньше модуля второго. Значит, первое число больше второго, -15>-23.

В зависимости от вида числа мы использовали тот или иной способ сравнения. Но есть универсальный способ сравнения, который охватывает все случаи.

Число а больше числа b, если разность а-b – положительное число; число а меньше числа b, если разность a-b – отрицательное число. Если разность а-b = 0, то числа а и b равны.

На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее.

Рассмотрим некоторые свойства числовых неравенств.

1. Если a>b, то b<a, если a<b, то b>a.

   Действительно, если разность a-b – положительное число, то разность b-a – отрицательное число, и наоборот.

2. Если a<b и b<c, то а<c.

   Докажем, что разность а-с – отрицательное число. Прибавим к этой разности числа b и –b и сгруппируем слагаемые:

   а-с = а-с+b-b = (а-b)+(b+c).

   По условию а<b и b<c. Поэтому слагаемые а-b и b-c – отрицательные числа. Значит, и их сумма является отрицательным числом. Следовательно, а<c.

3. Если a<b и c – любое число, то а+с<b+c.

   Преобразуем разность (а+с)-(b+c) = а-b

   По условию а<b, поэтому a-b – отрицательное число. Значит, и разность (а+с)-(b+c) отрицательна. Следовательно, a+c<b+c.

   Если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

4. Если a<b и c – положительное число, то aс<bс. Если a<b и c – отрицательное число, то aс>bc.

   Представим разность ас-bc в виде произведения: ас-bc = с(а-b).

   Так как a<b, то a-b – отрицательное число. Если с>0, то произведение с(а-b) отрицательно, и, следовательно, ас<bc. Если с<0, то произведение с(а-b) положительно, и, следовательно, ас>bc.

   Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то аналогичное свойство справедливо и для деления.

   Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

   Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

   s

5. Если а и b – положительные числа и а<b, то $\frac{\mathit{1}}{\mathit{a}}\mathit{>}\frac{\mathit{1}}{\mathit{b}}$.

   Разделим обе части неравенства a<b на положительное число ab: $\frac{a}{\mathit{ab}}<\frac{b}{\mathit{ab}}$. Сократив дроби, получим, что $\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$, т.е. $\frac{1}{а}>\frac{1}{b}$.

   Приведем пример использования рассмотренных свойств неравенств.

   Пример 5. Оценим периметр равностороннего треугольника со стороной а мм, если известно, что 54,2<a и a<54,3, и запишем результат в виде двойного неравенства.

   54,2·3 < 3a < 54,3·3,

   162,6 < 3a < 162,9.

   Значит, периметр Р данного треугольника больше 162,6 мм, но меньше 162,9 мм.

   Рассмотрим теперь, как выполняется сложение и умножение числовых неравенств.

6. Если a<b и c<d, то a+c<b+d.

   Прибавив к обеим частям неравенства a<b число с, получим а+с<b+с. Прибавив к обеим частям неравенства с<d число b, получим b+c<b+d.

   То есть а+с<b+с<b+d. Из этого следует, что a+c<b+d.

   Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

7. Если a<b и c<d, где а,b,c,d – положительные числа, то ac<bd.

   Умножим обе части неравенства a<b на положительное число с, получим ac<bс. Умножив обе части неравенства c<d на положительное число b, получим bc<bd. Получим ac<bс<bd. Следовательно ac<bd.

   Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых – положительные числа, то получится верное неравенство.

   Из этой теоремы следует, что

   Если числа а и b положительны и a<b, то aⁿ<bⁿ, где n – натуральное число.

   Доказанные свойства используют для оценки суммы, разности, произведения и частного.

   Пример 6. Известно, что 15<x<16 и 2<y<3. Требуется оценить сумму х+у, разность х-у, произведение ху и частное х/у.

   Сложим почленно неравенства 15<x<16 и 2<y<3, получим 17<x+y<19.

   Оценим разность. Для этого умножим 2<y<3 почленно на (-1). Получим -3<-y<-2.

   Теперь сложим почленно неравенства 15<x<16 и -3<-y<-2. Получим 12<x-y<14.

   Оценим произведение ху. Перемножим почленно неравенства 15<x<16 и 2<y<3. Получим 30<xy<48.

   Оценим частное. Для этого сначала запишем неравенство для $\frac{1}{у}$. Получится $\frac{1}{3}<\frac{1}{y}<\frac{1}{2}$. Теперь перемножим почленно 15<x<16 и $\frac{1}{3}<\frac{1}{y}<\frac{1}{2}$. Получим $5<\frac{x}{y}<8$.