Математика

Погрешность и точность приближения.

Найдем значение функции у = х² при х=1,5 и при х=2,1.

Можно найти значение функции двумя способами: по формуле и с помощью графика.

 

 

С помощью графика приближенные значения функции равны:

при х = 1,5 у ≈ 2,3;

при х = 2,1 у ≈ 4,4.

По формуле:

при х = 1,5 у = 1,5² = 2,25;

при х = 2,1 у = 2,1² = 4,41.

Приближенное значение отличается от точного, так как по графику мы не можем определить с точностью до сотых значение функции.

В первом случае приближенное значение отличается от точного на 0,05, а во втором – на 0,01.

Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т.е. найти модуль разности точного и приближенного значений.

Модуль разности точного и приближенного значений называется абсолютной погрешностью.

Но найти абсолютную погрешность не всегда возможно. Пусть, например, при измерении длины некоторого отрезка получен результат АВ ≈ 4,3 см. Мы не можем найти абсолютную погрешность приближенного значения, так как не знаем точного значения длины отрезка АВ. В таких случаях важно указать такое число, больше которого абсолютная погрешность быть не может. В рассматриваемом случае это 0,1 см, то есть 1 мм – цена деления линейки.

Если х ≈ a и абсолютная погрешность этого приближенного значения не превосходит некоторого числа h, то число а называют приближенным значением х с точностью до h.

Пишут х ≈ a с точностью до h.

Используют также такую запись:

x = а±h

Запись х= а±h означает, что точное значение переменной х заключено между числами a-h и a+h.

То есть a-h ≤ х ≤ a+h.

Для оценки качества измерения можно использовать относительную погрешность приближенного значения.

Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Относительную погрешность принято выражать в процентах.

В тех случаях, когда абсолютная погрешность приближенного значения неизвестна, а известна только его точность, ограничиваются оценкой относительной погрешности.

Рассмотрим пример. При измерении в сантиметрах толщины стекла b получаем такой результат

b = 0,4±0,1.

В этом случае относительная погрешность не превосходит $\frac{0,1}{0,4}·100\%$ , то есть 25%. Говорят, что измерение выполнено с относительной точностью 25%.