Математика

Неравенство

Неравенство, содержащее одну переменную, называется неравенством с одной переменной (неизвестной).

Решением неравенства называется такое значение переменной, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – это значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства называются равносильными, если они имеют одни и те же решения, или они оба не имеют решений.

При решении неравенств используют основные их свойства:

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.
3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Решение неравенств обозначают на координатной прямой.

Пусть a – некоторое число. Все числа, не превосходящие а – это часть координатной прямой левее точки a вместе с точкой a (черный закрашенный кружок):

 

 

Все числа, меньшие а – это часть координатной прямой левее точки a, но не включая точку.

 

 

Аналогично для чисел, не меньших а, и больших а:

 

 

Обозначения числовых множеств на координатной прямой носят название числовые промежутки.

 

 

Пример 1. Записать, используя обозначения числовых промежутков, множество точек заштрихованной части координатной прямой.

 

 

Ответ: (-∞;-6) U [-3;0) U [2;5) U (5; ∞)

Читается так: промежуток от минус бесконечности до минус 6 (шесть не входит) объединить с промежутком от минус 3 до нуля (минус три входит, ноль не входит) объединить с промежутком от двух до пяти (два входит, пять не входит) объединить с промежутком от 5 до бесконечности (5 не входит).

Пример 2. Решим неравенство $\frac{x}{3}-\frac{x}{2}<2$.

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, т.е. на 6. Получим

$2x-3x<12$

$-x<12$

$x>-12$

Ответ (-12;∞).

В рассмотренном примере мы заменили заданное неравенство равносильным ему неравенством вида ax<b, где a и b – некоторые числа. Неравенства вида ax<b или ax>b, где a и b – некоторые числа, называют линейными неравенствами с одной переменной.

Может случиться, что при решении неравенства мы придем к линейному неравенству вида 0x>b или 0x<b. Неравенство такого вида, а значит, и соответствующее исходное неравенство либо не имеют решений, либо их решением является любое число.

Пример 3. Турист вышел по направлению к железнодорожной станции, расположенной на расстоянии 10 км от него. Если турист увеличит скорость на 2 км/ч, то за 2 часа он пройдет расстояние, большее 10 км. Если он уменьшит скорость на 2 км/ч, то даже за 3 ч не успеет дойти до станции. Какова скорость туриста?

Пусть скорость туриста равна х км/ч. Если турист будет идти со скоростью (х+2) км/ч, то за 2 часа он пройдет 2(х+2) км. По условию задачи 2(х+2)>10. Если турист будет идти со скоростью (х-2) км/ч, то за 3 часов он пройдет 3(х-2) км. По условию задачи 3(х-2)<10.

Требуется найти значения х, при которых верно как неравенство 2(х+2)>10, так и неравенство 3(х-2)<10, т.е. найти общие решения этих неравенств. В таких случаях говорят, что надо решить систему неравенств.

$\left\{\begin{array}{c}2\left(х+2\right)>10\\ 3\left(x-2\right)<10\end{array}\right.$

Заменив каждое неравенство системы равносильным ему неравенством, получим

$\left\{\begin{array}{c}x>3\\ x<16/3\end{array}\right.$

Значит, значение х должно удовлетворять условию 3<x<5(1/3).

Ответ: скорость туриста больше 3 км/ч, но меньше 5 (1/3) км/ч

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.