Математика
Тема 13: Неравенства. Профильный уровеньУрок 1: Свойства числовых неравенств
- Теория
Что такое неравенство
Что такое числовое неравенство.
Вспомним, что означают неравенства: 
и 
:
означает, что 
и означает, что 
Вывод: число 
считается большим числа b, если разность 
является положительным числом. Число считается меньше числа b, если разность является отрицательным числом.
Геометрическая интерпретация.
Если точка с координатой находится правее, чем точка с координатой b, значит число . И наоборот. Не всегда очевидна алгебраическая запись, поэтому геометрическая интерпретация часто помогает. С положительными числами это очевидно, а с отрицательными лучше пользоваться расположением этих чисел на числовой оси.
Свойства числовых неравенств.
Свойство неравенств №1
Если 
, то 
Доказательство: Поскольку по условию , то разницы 
и 
являются положительными числами. Тогда положительной будет и их сумма 
Имеем: 
.Таким образом, разница 
– положительное число, и отсюда следует, что .
Свойство неравенств №2
Если и с – любое число, то 
.
Доказательство:
Рассмотрим разность 
Имеем: 
. Поскольку по условию , то разность – положительное число и . Что и требовалось доказать.
Свойство неравенств №3
Если и c – положительное число, то 
. И если и c – отрицательное число, то 
.
Доказательство:
Рассмотрим разность 
Имеем:
. Поскольку по условию , то разность – положительное число. Если 
, то произведение 
– положительное число, и разность 
положительная , т. е.
.
Если 
, то произведение – отрицательное число, и разность отрицательная, т. е.
Пример: 
, умножим обе части неравенства на 2 и получим 
, но если обе части неравенства умножить на -2, то знак неравенства поменяется на противоположный: 
.
Действия с неравенствами
Свойство 4.
.Т. е. любые неравенства одного знака можно складывать.
Свойство 5.
Рассмотрим перемножение неравенств.
Если все числа положительные, то их можно перемножить, и получим 
. Если умножать на отрицательное число, то знак неравенства меняется на противоположный.
Свойство 6.
Рассмотрим возведение в степень неравенств.
и 
тогда 
.
Пример №1
Даны два положительных числа 
и 
.И . Доказать, что их обратные величины связаны противоположным неравенством: 
Решение. Перенесем в одну сторону и выполним необходимые действия.
Так как даны положительные числа и 
то нужно убедиться, что 
. Чтобы дробь была отрицательным числом, надо, чтобы числитель был отрицательным числом. Умножаем на -1 и получаем .
Пример №2
Дано:
а) Оценить число 
Решение: Обе части неравенства умножаем на 2. Тогда 
. Задача решена.
б) Оценить число -3
Решение:
будет меняться в пределах 
. Умножаем неравенство на 3. Получаем 
; 
в) Oценить разность
Решение: 
. Неравенства одного знака можно складывать. Получаем:
Ответ: 
Пример №3
Дано: 
Решение: Переносим все в одну сторону.
. Приводим к общему знаменателю:
Знаменатель по условию 
, значит и числитель должен быть положительным числом, т. е.
. Квадрат числа всегда равен положительному числу, кроме, если а=1. Что и требовалось доказать.
Подведение итога урока.
На данном уроке была рассмотрена тема: «Свойства числовых неравенств». В ходе этого занятия вы вспомнили определение неравенства. Получили представление об основных свойствах числовых неравенств, которые впоследствии пригодятся для решения задач.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- ЕГЭ по математике (Источник).
- Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
- Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
Домашнее задание
- Сравните числа а и b, если: а)
; б) 
в) 
- Какое из чисел больше х или у, если известно, что: а)
; б) 
- №530, 532. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
