Математика

Что такое квадратное неравенство

 

Квадратными называются неравенства вида

 

Причем важно, что старший коэффициент не может быть равен нулю: .

 

Пример №1

 

 

Решить неравенство:

 

Умножаем обе части неравенства на , чтобы старший коэффициент стал числом положительным. Получаем:

Так, мы видим, что любое квадратное неравенство можно преобразовать таким образом, чтобы старший коэффициент был положительным, поэтому будем рассматривать квадратные неравенства для случая .

Итак, решим заданное неравенство для положительного старшего коэффициента:

Рассмотрим функцию: , применяем теорему Виета,

Раскладываем на линейные множители:

Построим график функции (Рис. 1):

Рис. 1. График квадратичной функции

I способ решения неравенства

 Произведение двух скобок – число отрицательное.

Произведение двух чисел отрицательное тогда, когда они разных знаков.

Если , тогда  или , тогда

Исходное неравенство распалось на совокупность двух линейных систем.

 или

Проиллюстрируем решение первой системы неравенств (рис. 2):

Рис. 2. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Нас интересуют те значения, которые удовлетворят одновременно и первому неравенству, и второму. Очевидно, что это множество значений находится там, где присутствуют оба цвета. Так, решение первой системы:

Проиллюстрируем решение второй системы (Рис. 3):

Рис. 3. Решение системы линейных неравенств

Красным показано множество решений первого неравенства. Зеленым – второго. Аналогично первой системе, ищем решение второй системы там, где присутствуют оба цвета. Очевидно, что вторая система решений не имеет.

Ответ:

II способ решения неравенства. По графику функции получаем ответ. Очевидно, что вне корней функция положительна (график расположен над осью ), а внутри интервала корней функция отрицательна (график расположен под осью ). Так, заданное неравенство выполняется для всех , лежащих в интервале между корнями квадратного трехчлена:

Но корни квадратного трехчлена существуют не всегда, мы знаем, что два различных корня существуют тогда и только тогда, когда дискриминант его положителен.

 

Пример №2

 

 

Решить неравенства: 1) ; 2)

 

Построим график функции (Рис. 4):

Рис. 4. График квадратичной функции

Везде функция положительна, и только в одной точке она равна нулю (рис. 4).

1.  или

2. 

  нет решений

 

 

Пример №3

 

 

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции равен нулю, значит, трехчлен раскладывается в полный квадрат.

 

Построим график функции (Рис. 5)

Рис. 5. График квадратичной функции

Функция везде положительная и только в одной точке при , она равна нулю.

Решить неравенства:

. Решением являются все значения , кроме . Ответ: или

 Решение неравенства:

 Нет решений. Квадрат числа не может быть отрицательным числом.

 Решение неравенства

 

Пример №4

 

 

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции больше нуля..

 

Корнями здесь являются:

График этой функции – парабола (Рис. 6). Вне интервала корней парабола находится над осью , а значит, функция положительна. Внутри интервала корней парабола расположена под осью . Значит, функция при всех этих  отрицательна. В точках  функция равна нулю.

Рис. 6. График квадратичной функции

Рассмотрим все возможные неравенства, которые нам может предложить эта функция:

1.; искомые значения находятся вне интервала корней, причем границы входят в ответ, т. к. допускается равенство нулю квадратного трехчлена. Решение неравенства:  или

2.; искомые значения находятся внутри интервала корней, причем границы не входят в ответ. Решение .

 

Пример №5

 

 

Рассмотрим функцию: . Дискриминант этой функции меньше нуля. . Функция не имеет корней

 

График функции:

График этой функции – парабола,  ветви ее направлены вверх, она не соприкасается с осью Х, т. е. на всей оси, при всех значениях х функция – величина положительная (Рис. 7).

Рис. 7. График квадратичной функции

Выделим полный квадрат: . Если квадрат числа – величина неотрицательная, то  при всех значениях

Рассмотрим все возможные неравенства, функции, где .

1. . Решение:

2. . Нет решений.

 

Пример №6

 

 

Рассмотрим решение неравенства, которое сводится к квадратному.

 

. Найти множество значений, при которых эта функция имеет смысл.

Решение неравенства:

Рассмотрим функцию: . Корни равны  Изучим её свойства. Для этого схематически построим её график (Рис. 8).

Рис. 8. График квадратичной функции

Функция положительна вне интервала корней и отрицательна внутри интервала корней.

 при  или

Ответ:  или

Подведение итога урока

На данном уроке была рассмотрена тема: «Решение квадратных неравенств». Вы узнали, что решение квадратных неравенств полностью базируется на решении квадратичных функций.

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. ЕГЭ по математике (Источник).
2. Интернет-портал Frezzii.narod.ru (Источник).
3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
4. Видеоуроки для школьников (Источник).

 

 Домашнее задание

1. Решить неравенство:
2. На чем базируется решение квадратных неравенств?
3. №540, 556. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.