Математика

Касательная к окружности.

Рассмотрим случаи взаимного расположения прямой и окружности.

Первый случай – расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Во втором случае расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d=r), то прямая и окружность имеют одну общую точку. Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности, общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

В третьем случаерасстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности.Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d>r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Справедлива и обратная теорема.

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

Прямую и обратную теоремы можно объединить следующим образом:

Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей.

Данная теорема означает, что если прямая является касательной, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей, и наоборот, из перпендикулярности ОА и р следует, что р – касательная, то есть, прямая и окружность имеют единственную общую точку.

 

 

Рассмотрим две касательные, проведенные из одной точки к окружности.

Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проведенной через эту точку и центр окружности.