Математика

Центральные и вписанные углы

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

 

 

Центральному углу АОВ соответствуют две дуги с концами А и В. Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360°-∠AOB.

Центральный угол измеряется дугой, на которую опирается.

Сумма градусных мер дуг окружности с общими концами равна 360⁰.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

 

 

При этом говорят, что вписанный угол ABC опирается на дугу AC.

Теорема. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

 

 

Доказательство.

Пусть $\angle \mathit{АВС}$ – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС. Докажем, что $\angle \mathit{АВС}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$. Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.

1. Луч ОВ совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому центральный угол АОС равен дуге АС. Так как угол АОС – внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то $\angle \mathit{АОС}=\angle 1+\angle 2=2·\angle 1$.

   Отсюда следует, что удвоенный ∠1 равен дуге АС или $\angle \mathit{АВС}=\angle 1=\frac{1}{2}\mathit{AC}$.

    

   

    

2. Луч ВО делит угол АВС на два угла. В этом случае ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D. Точка D разделяет дугу АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в теореме о вписанном угле $\angle \mathit{ABD}=\frac{1}{2}\mathit{AD}$, $\angle \mathit{DBC}=\frac{1}{2}\mathit{DC}$. Складывая эти равенства попарно, получаем $\angle \mathit{ABD}+\angle \mathit{DBC}=\frac{1}{2}\mathit{AD}+\frac{1}{2}\mathit{DC}$ или $\angle \mathit{ABC}=\frac{1}{2}\mathit{AC}$.

    

   

    

3. Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла. Этот случай доказывается аналогично двум предыдущим.

    

   

    

   Из теоремы о вписанном угле следует два утверждения:

   Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

   Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

Докажем еще одну теорему, которая пригодится для решения задач.

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Пусть хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ·ВЕ = СЕ·DE.

 

 

Рассмотрим треугольники ADE и CBE. В этих треугольниках углы 1 и 4 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BD, а углы 2 и 3 равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников △ADE ∼△CBE. Отсюда следует, что $\frac{\mathit{АЕ}}{\mathit{СЕ}}=\frac{\mathit{DE}}{\mathit{BE}}$, или AE·BE = CE·DE.

Решим задачу, используя изученные свойства центральных и вписанных углов.

Центральный угол на 17° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен х, а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен у:

 

 

Мы знаем, что х = 2у. Отсюда 2у = 17+у; у = 17.

Ответ: 17.