Математика

Вписанная и описанная окружность.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Докажем следующее утверждение.

В любой треугольник можно вписать окружность.

 

 

Доказательство:

Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла $\angle А$ – АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов $\angle \mathit{В}$и $\angle С$, таким образом, от трех сторон треугольника.

Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника – ОМ на сторону АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны: ОМ = ОL = OK.

Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.

Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.

Итак, три биссектрисы треугольника пересекаются в точке, являющейся центром вписанной окружности.

Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.

В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим, например, прямоугольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в такой прямоугольник можно поместить окружность, касающуюся только трех его сторон.

Если же в четырехугольник можно вписать окружность, то его стороны обладают следующим замечательным свойством.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Это свойство легко установить, используя рисунок, на котором одними и теми же буквами обозначены равные отрезки касательных.

 

 

АВ+СD = AD+BC

AB = x+y, BC = y+z, CD = z+u, AD = x+u

(x+y)+(z+u) = (y+z)+(x+u)

Раскроем скобки:

x+y+z+u = x+y+z+u

Это равенство верно для любых переменных, значит, АВ+СD = AD+BC.

Верно и обратное утверждение. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

Рассмотрим еще одну теорему, она касается точки пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Мы знаем, что они пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром описанной около треугольника окружности.

Около любого треугольника можно описать окружность.

Итак, задан треугольник $⊿\mathit{АВС}$. Проведем серединный перпендикуляр р₁ к стороне треугольника ВС, р₂ – к стороне АВ, р₃ – к стороне АС.

 

 

Серединные перпендикуляры пересекутся в точке Q.

Согласно теореме о свойствах серединных перпендикуляров, точка, принадлежащая серединному перпендикуляру к отрезку, равноудалена от концов отрезка. Отсюда QA = QC, т.к. точка Q принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку АС. Аналогично QA = QB и QB = QC. Таким образом, точка Q равноудалена от вершин треугольника. Отсюда QA, QB, QC – радиусы окружности, описанной около треугольника $⊿\mathit{АВС}$. Обозначим радиус за R. Точка пересечения серединных перпендикуляров – центр описанной окружности.

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность.

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Например, нельзя описать окружность около ромба, не являющегося квадратом.

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

 

 

Это свойство легко установить, если обратиться к рисунку и воспользоваться теоремой о вписанном угле.

$\angle А$ равен половине дуги ВСD,

$\angle$C равен половине дуги ВАD.

Отсюда следует, что $\angle А+\angle С=\frac{1}{2}\mathit{BCD}+\frac{1}{2}\mathit{BAD}=\frac{1}{2}\left(\mathit{BCD}+\mathit{BAD}\right)=\frac{1}{2}·360°=180°$.

Верна и обратная теорема.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180⁰, то около него можно описать окружность.