Математика

Четыре замечательные точки треугольника.

С каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр – обозначим его за р. Таким образом, р – серединный перпендикуляр.

Теорема (основное свойство серединного перпендикуляра): любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

 

 

Доказать, что АМ = МВ

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $⊿\mathit{МОА}$ и $⊿\mathit{МОВ}$. Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть АМ = МВ, что и требовалось доказать.

Справедлива обратная теорема.

Теорема. Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

 

 

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка.

Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник АВМ. Он равнобедренный, так как АМ = МВ по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О – середина основания АВ, ОМ – медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что ОМ⟂АВ. Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Если необходимо описать окружность около одного отрезка, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центр каждой из них будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

Говорят, что серединный перпендикуляр есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Треугольник состоит из трех отрезков. Проведем к двум из них серединные перпендикуляры и получим точку О их пересечения.

 

 

Точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС треугольника, значит, она равноудалена от его вершин В и С, обозначим это расстояние за R, то есть ОВ = ОС = R.

Кроме того, точка О находится на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, т.е. OA = OB, вместе с тем OB = R, отсюда OA = R.

Таким образом, точка О пересечения двух серединных перпендикуляров треугольника равноудалена от его вершин, а значит, она лежит и на третьем серединном перпендикуляре.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности.

 

 

Для доказательства этого утверждения рассмотрим серединные перпендикуляры m и n к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Эти прямые пересекаются в некоторой точке О. В самом деле, если предположить противное, т.е. то, что m||n, то прямая ВА, будучи перпендикулярной к прямой m, была бы перпендикулярна и к параллельной ей прямой n, а тогда через точку В проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендикулярные к прямой n, что невозможно.

По доказанной теореме ОВ = ОА и ОВ = ОС. Поэтому ОА = ОС, то есть точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре р к этому отрезку. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n, p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О.

Итак, мы рассмотрели первую замечательную точку треугольника – точку пересечения его серединных перпендикуляров.

Перейдем к свойству произвольного угла.

Задан угол $\angle \mathit{ВАС}$, его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.

 

 

Свойство биссектрисы угла:

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники $⊿\mathit{АМК}$ и $⊿\mathit{АМР}$ . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы $\angle \mathit{КАМ}$ и $\angle \mathit{РАМ}$ равны, так как AL – биссектриса угла $\angle \mathit{ВАС}$. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что МК = МР = d, что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема. Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

Задан неразвернутый угол $\angle \mathit{ВАС}$, точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое. Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.

 

 

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники $⊿\mathit{АМК}$ и $⊿\mathit{АМР}$ . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом,$\angle \mathit{КАМ}$ и $\angle \mathit{РАМ}$ равны , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Если необходимо вписать в угол окружность, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центры вписанных окружностей лежат на биссектрисе данного угла.

Говорят, что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Треугольник состоит из трех углов. Построим биссектрисы двух из них, получим точку О их пересечения.

 

 

Точка О лежит на биссектрисе угла $\angle В$, значит, она равноудалена от его сторон АВ и ВС, обозначим расстояние за r: ρ(О,АВ) = ρ(О,ВС) = r. Также точка О лежит на биссектрисе угла $\angle C$, значит, она равноудалена от его сторон АС и ВС, то есть ρ(О,АC) = ρ(О,ВС), ρ(О,ВС) = r, отсюда ρ(О,АC) = r.

Несложно заметить, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон третьего угла, а значит, она лежит на биссектрисе угла $\angle A$. Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Итак, мы рассмотрели вторую замечательную точку треугольника – точку пересечения биссектрис.

Аналогичным свойством обладают высоты и медианы.

Высоты треугольника (или их продолжение) пересекаются в одной точке.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке.