Математика

 

 

Тема: Окружность

 

Урок: Теорема о вписанном угле

 

1. Основные определения, определение вписанного угла

 

 

Напомним некоторые определения

 

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R (см. Рис. 1).

Рис. 1

Часть окружности   называется дугой.

Дуга имеет угловое измерение.

Градусная мера дуги  равна градусной мере соответствующего центрального угла :

Рассмотрим примеры:

Рис. 2

Определение

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

 

Рис. 3

Задана окружность с центром О, вершина А лежит на окружности, стороны АВ и АС угла пересекают окружность в точках В и С, угол  называется вписанным. Он опирается на дугу , эта дуга расположена внутри угла (см. Рис. 3).

 

2. Теорема о вписанном угле

 

 

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается (см. Рис. 4).

 

Рис. 4

Доказательство:

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: точка О принадлежит лучу АС (см. Рис. 5).

Рис. 5

Доказать, что

Обозначим угол  через , тогда угол  также будет равен , так как треугольник  равнобедренный, его стороны ОВ и ОА равны как радиусы окружности. Угол  является внешним для треугольника , внешний угол равен сумме двух других углов, не смежных с ним, получаем: , то есть угловое измерение дуги  есть . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине измерения дуги, на которую он опирается.

Случай 2: точка О лежит внутри вписанного угла  (см. Рис. 6).

Рис. 6

Доказать, что

Доказательство сводится к предыдущему случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол  за  и тогда дуга  равна  (объяснение см. случай 1). Угол  за , тогда дуга  равна  (объяснение см. случай 1). Вся дуга  равна:

Угол  в свою очередь, равен .

Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Случай 3: точка О находится вне вписанного угла (см. Рис. 7).

Рис. 7

Доказать, что

Доказательство снова сводится к первому случаю. Проведем диаметр AD, обозначим угол  через , тогда дуга  (объяснение см. случай 1). Угол  обозначим через , тогда дуга  равна  (объяснение см. случай 1). Дуга  является разностью большой дуги  и дуги :

Вписанный угол  равен . Таким образом, мы доказали, что вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Итак, теорема полностью доказана, все случаи рассмотрены. И теперь из этого вытекают важные следствия.

 

3. Следствия теоремы о вписанном угле

 

 

Следствие 1:

 

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (см. Рис. 8).

Рис. 8

Угол  равен , он вписанный и опирается на дугу , значит, дуга равна . Но на эту же дугу опираются много других углов, например, углы  и , данные углы измеряются половиной градусной меры дуги, значит, они равны , как и угол .

Таким образом, получаем:

Следствие 2

Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (см. Рис. 9).

Рис. 9

Теорема о вписанном угле является ключом к доказательству многих других теорем и к решению многих задач.

 

4. Теорема о хордах

 

 

Произведение отрезков каждой из двух пересекающихся хорд есть величина постоянная.

 

Рис. 10

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники  и  (см. Рис. 10). Данные треугольники подобны по равенству двух углов: равны вертикальные углы  и ; вписанные углы  и  опираются на одну и ту же дугу . Выпишем соотношение подобия:

Применим свойство пропорции и преобразуем выражение:

, что и требовалось доказать.

 

5. Выводы по уроку

 

 

Итак, мы рассмотрели понятие вписанного угла и теорему о вписанном угле. В следующем уроке мы рассмотрим свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

 

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Oldskola1.narod.ru (Источник).
2. Webmath.exponenta.ru (Источник).
3. Samlib.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7-9, № 653, № 655, № 656, ст. 173.