Математика

Подобие правильных многоугольников

 

Мы знаем, что треугольник можно однозначно задать длинами трех его сторон. Но один из видов треугольников, правильный треугольник, однозначно задается всего одним параметром – длиной стороны, а все правильные треугольники подобны (см. рис. 1). То есть если нам не задан масштаб (метрика), то все правильные треугольники эквивалентны друг другу.

 

Рис. 1. Правильные треугольники подобны друг другу

Мы уже знаем другую фигуру, обладающую похожими свойствами – окружность. Она тоже задается одним параметром (радиусом), и все окружности подобны друг другу (см. рис. 2). Действительно, монеткой легко закрыть диск Луны.

Рис. 2. Окружности подобны друг другу

Но не только правильные треугольники и окружности обладают такими свойствами. Ими обладает и квадрат – правильный четырехугольник (см. рис. 3).

Рис. 3. Квадраты подобны друг другу

Можно рассмотреть правильный пяти-, шести- и т. д. сколь угодно большой -угольник. Предельный случай при бесконечно увеличивающемся , как мы уже говорили, – это как раз уже рассмотренная окружность.

 

Определение правильных многоугольников

 

 

Итак, правильный треугольник и окружность – два крайних предельных случая («минимальный» и «максимальный») особого вида фигур – правильных многоугольников.

 

Все такие многоугольники обладают набором свойств:

1. задаются одним параметром (длиной элемента);
2. подобны всем многоугольникам своего класса.

Это еще не строгое определение, его мы сформулируем чуть позже.

А пока остановимся на том, почему мы уделяем правильным многоугольникам отдельное внимание. Многоугольники могут быть очень разными. Но правильные среди них, в каком-то смысле, самые простые. Во-первых, они задаются всего одним параметром. Во-вторых, они обладают осями и центром симметрии. Правильный треугольник можно трижды повернуть вокруг центра, не заметив разницы. Квадрат – уже четыре раза и т. д. В пределе получим окружность, для которой, на сколько ее ни поверни, ничего не изменится (или, по-другому, у нее бесконечное количество осей симметрии).

Идеальной окружности или любого другого правильного многоугольника в природе не существует. Все реальные предметы можно рассматривать только как их приближения. Но для многих практических задач такое приближение является довольно точным, поэтому правильные многоугольники используются в качестве полезного инструмента для решения таких задач. Более того, они являются полезным «внутриматематическим» инструментом, потому что мы можем подробно их изучить и получить их свойства. А затем, рассматривая окружность как предельный случай таких многоугольников, перенести эти свойства на нее и получить полезные утверждения уже не для ломаной, а для гладкой кривой.

Итак, равносторонний треугольник является правильным треугольником. Означает ли это, что любой равносторонний многоугольник тоже можно назвать правильным? Вот ромб. У него все стороны равны. То есть ромб – это равносторонний четырехугольник. Но он не правильный. Правильным считается только квадрат. Он отличается от остальных ромбов тем, что все его углы равны (см. рис. 4).

Рис. 4. Ромб не является правильным многоугольником

Итак, правильные многоугольники – многоугольники,у которых все стороны и все углы равны (см. рис. 5).

Рис. 5. Правильные многоугольники

Почему же для треугольника достаточно равенства сторон? Все очень просто. Из равенства сторон треугольника автоматически следует и равенство его углов (вспомните: против большей стороны треугольника лежит больший угол; против равных сторон – равные углы и наоборот). Для четырехугольников и других многоугольников это утверждение уже не верно.

[00:04:050/Нахождение внутреннего угла правильного многоугольника]

Из определения правильного многоугольника сразу можно сделать вывод, что нам не составит труда найти величину каждого из его внутренних углов. Действительно, вспомните, что мы уже выводили формулу для суммы внутренних углов произвольного -угольника. А так как в правильном многоугольнике все углы равны по определению, достаточно всю эту сумму разделить на количество углов, чтобы найти градусную меру одного из них. Для правильного треугольника и квадрата легко:

Получим формулу произвольного правильного -угольника. Для этого вспомним, чему равна сумма углов -угольника. Легче всего рассуждения провести для выпуклых многоугольников. Нам этого достаточно, так как все правильные многоугольники выпуклы.

Итак, рассмотрим произвольный выпуклый -угольник. Выберем любую вершину и проведем из нее все возможные диагонали. Сколько получилось треугольников (см. рис. 6)? Все треугольники, кроме двух крайних, содержат одну сторону многоугольника, а крайние – по две. Т. е. треугольников на два меньше, чем сторон у многоугольника, т. е. .

Рис. 6. Из вершины произвольного выпуклого -угольника проведены все возможные диагонали

Сумма углов -угольника – это сумма всех углов всех треугольников, а в каждом треугольнике эта сумма равна .Таким образом, сумма углов произвольного выпуклого -угольника равна:

Рассмотрим теперь правильный -угольник (см. рис. 7).

Рис. 7. Правильный -угольник

Так как все углы равны, делим сумму углов на количество углов, получаем величину угла:

Легко заметить, что чем больше вершин у правильного многоугольника, тем больше значение его внутреннего угла. Чтобы это заметить, лучше переписать формулу следующим образом:

С увеличением  дробь будет уменьшаться. Но чем меньше вычитаемое, тем больше разность.

 

Задача 1. Найти величины внутренних углов правильного -угольника (см. рис. 8).

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 1

Решение

Используем полученную ранее формулу:

Ответ: .

 

Задача 2. Какова минимальная и максимальная величина внутреннего угла правильного многоугольника?

Решение

Посмотрим на формулу величины угла:

Минимальное количество сторон у многоугольника – три. Поэтому минимальная величина угла у правильного треугольника:

Мы уже заметили, что чем больше сторон, тем больше величина угла:

С увеличением  до бесконечности вычитаемая дробь стремится к нулю. Значит, внутренний угол правильного многоугольника будет стремиться к . Но никогда его не достигнет.

Это видно и из геометрических соображений. При увеличении количества сторон каждый угол становится все ближе к развернутому, т. е. к , но никогда этой величины не достигает.

Ответ: ,  – нет.

 

---

 

Паркет из правильных многоугольников

Замощение плоскости различными фигурами – отдельное направление в математике. Оно имеет и конкретное прикладное значение – подбор форм паркета или плитки для покрытия пола, создания различных видов орнамента и т. д.

Мы рассмотрим одну из самых простых задач на замощение плоскости правильными многоугольниками. Предположим, мы хотим сделать это только одинаковыми правильными -угольниками. Всегда ли это возможно? Или существуют какие-то ограничения? Мы подразумеваем, что замощение – это покрытие плоскости без наложений и «дырок».

Задача. Замостить плоскость одинаковыми правильными -угольниками.

Решение

Как мы уже знаем, каждый внутренний угол правильного n-угольника равен:

В каждой вершине паркета сходится целое число углов, значит, развернутый угол, который они образуют, должен равняться сумме некоторого количества углов (см. рис. 9):

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Получаем:

Откуда:

Или:

Так как  – целое число, то дробь  тоже должна быть целым числом. Значит,  (иначе знаменатель дроби будет больше числителя, дробь будет правильной, то есть ее значение будет меньше , а значит, нецелым).

Мы можем сделать и более сильное утверждение:  должно быть делителем числа , иначе дробь будет нецелым числом, то есть:

Но в данном случае этот же результат мы бы получили и перебором решений неравенства:

Независимо от способа решения, мы получаем, что  (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Ответ: плоскость можно замостить правильными 3-, 4- или 6-угольниками.

Безусловно, для пола можно использовать плитки других правильных форм, но в этом случае придется использовать различные комбинации как форм, так и размеров.

---

 

 

Центр правильного многоугольника

 

 

Вокруг любого треугольника, в том числе правильного, можно описать окружность.

 

Вокруг четырехугольника не всегда можно описать окружность, например вокруг ромба, не являющегося квадратом. А вот вокруг квадрата – можно. Похоже, что и вокруг любого другого правильного многоугольника можно описать окружность.

Интуитивно понятно, что у правильного многоугольника есть некий центр, расстояние от которого до каждой вершины одинаково. А значит, через все вершины проходит окружность с этим центром. А расстояние от центра до вершин – это радиус описанной окружности. Но давайте строго докажем, что это в самом деле так.

 

Теорема.

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим правильный многоугольник (см. рис. 11).

Рис. 11. Правильный многоугольник

Проведем две биссектрисы углов  и .Они пересекутся в точке . Т. к. , то равны и их половины:

Следовательно, полученный треугольник равнобедренный (см. рис. 12):

Рис. 12. Равнобедренный треугольник

Соединим точки  и . Новый треугольник равен первому по первому признаку (см. рис. 13):

1. углы ;
2. сторона  общая;
3. стороны  по определению правильного многоугольника.

Значит, он тоже равнобедренный и  равен двум первым биссектрисам и сам является биссектрисой.

Рис. 13. Равные треугольники  и

Продолжив рассуждения, получим, что все биссектрисы внутренних углов правильного многоугольника пересекаются в точке  и равны друг другу (см. рис. 14).

Рис. 14. Все биссектрисы внутренних углов правильного многоугольника пересекаются в точке  и равны друг другу

Но тогда окружность с центром в точке  и радиусом, равным длине этих биссектрис, пройдет через все вершины многоугольника, то есть будет описанной вокруг него (см. рис. 15).

Рис. 15. Описанная около правильного многоугольника окружность

Доказано.

 

Таким образом, мы доказали, что вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность. Одна ли такая окружность? Конечно, одна.

Выберем любые три вершины многоугольника, например . Они образуют треугольник. Окружность, описанная около многоугольника, будет описана и около этого треугольника (см. рис. 16). Но вокруг треугольника можно описать только одну окружность. Следовательно, около правильного многоугольника тоже можно описать только одну окружность.

Рис. 16. Окружность, описанная около многоугольника и треугольника

Вернемся к рисунку. Мы уже доказали, что отрезки ,  и так далее делят многоугольник на равные равнобедренные треугольники. Построим высоты этих треугольников (см. рис. 17). Они пересекут стороны в их серединах ,  и т. д. Раз треугольники равны, то равны друг другу и высоты.

Рис. 17. Проведенные высоты

Но тогда мы можем вписать окружность в многоугольник (см. рис. 18). Центр будет тот же самый, что и у описанной окружности, точка , а радиусами будут эти самые высоты. Можно ли вписать другую окружность? Нет. Центр такой гипотетической вписанной окружности должен быть равноудален от сторон многоугольника, а значит, лежать на всех биссектрисах. Но тогда он совпадет с точкой . Радиусом будет расстояние от  до сторон, то есть уже имеющийся радиус.

Рис. 18. Вписанная в правильный многоугольник окружность

Таким образом, у любого правильного многоугольника есть описанная и вписанная окружности. Их центры совпадают. Этот общий центр называется центром правильного многоугольника.

 

Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей

 

 

Чтобы однозначно задать правильный многоугольник, нужно указать число его вершин и длину стороны. А раз многоугольник задан, то заданы его площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей. Попробуем связать эти величины.

 

Для этого введем обозначения:

•  – количество сторон;
•  – длина стороны;
•  – радиус описанной окружности;
•  – радиус вписанной окружности;
•  – периметр;
•  – полупериметр.
•  – площадь.

Площадь многоугольника равна сумме площадей равнобедренных треугольников. Площадь каждого такого треугольника равна:

Всего вершин , следовательно, площадь многоугольника:

Знакомая формула для площади треугольника, которую мы обобщили для любого описанного, а значит, и правильного многоугольника.

Высоты делят равнобедренные треугольники на прямоугольные. Рассмотрим один из таких, например треугольник  (см. рис. 19).

Рис. 19. Рассматриваемый прямоугольный треугольник

Угол  получился из полного угла в  делением на  частей, то есть:

Тогда из прямоугольного треугольника :

Отсюда можно получить формулу радиуса вписанной окружности:

Аналогично:

Отсюда можно получить формулу радиуса описанной окружности:

 

Задача 3. Найти площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей правильного 6-угольника со стороной .

Решение

Найдем радиус описанной окружности, используя полученную формулу:

Найдем радиус вписанной окружности, используя полученную формулу:

Найдем теперь площадь правильного -угольника со стороной . Полупериметр равен .

Площадь равна:

Ответ: .

Из того факта, что радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне, следует и способ его построения. Пусть нужно построить правильный шестиугольник с данной стороной. Строим окружность с этим радиусом. Отметим на окружности произвольную точку (см. рис. 20).

Рис. 20.  – произвольная точка, отмеченная на окружности

Далее, используя тот же раствор циркуля, строим соседнюю точку, следующую и так далее. Всего получается шесть точек на равном расстоянии (см. рис. 21). Соединим их и получим требуемый шестиугольник (см. рис. 22). Решение этой задачи можно также воспринимать как способ деления окружности на шесть равных частей.

Рис. 21. Построенные точки , , , ,

Рис. 22. Полученный шестиугольник

 

---

 

Вывод формул для длины окружности и площади круга

Мы сказали, что окружность можно рассматривать как предельный случай правильного -угольника при , которое стремится к бесконечности. Воспользуемся этим, чтобы получить формулы для вычисления длины окружности и площади круга.

Рассмотрим окружность. Впишем и опишем вокруг нее правильные -угольники (см. рис. 23).

Рис. 23. Окружность, около которой вписан и описан правильный -угольник

Выразим их периметры через радиус окружности:

Используем выведенные ранее формулы радиусов вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников,

Получаем:

Тогда:

Или:

С другой стороны, используя формулу:

Получаем:

Длина окружности лежит между периметрами этих правильных многоугольников. Если  – длина окружности, то:

Поделим все части неравенства на :

С увеличением  и стремлением его к бесконечности вписанный и описанный многоугольники будут все ближе к окружности. Значит, левая и правая части неравенства будут приближаться к одному значению. Как его найти? Мы пока не обладаем достаточным математическим инструментарием, чтобы это сделать строго. Поэтому воспользуемся готовым результатом:

Или, если переписать в другом виде:

В нашем случае:

Тогда:

Значит, левая часть неравенства стремится к .

Аналогично можно доказать, что и правая часть неравенства будет стремиться к , тогда:

Вот мы и получили знакомую нам формулу длины окружности:

Из нее несложно получить формулу площади круга:

---

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал bymath.net (Источник)
3. Интернет-портал ru.onlinemschool.com (Источник)

 

Домашнее задание

1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен ?
2. Вычислить отношение площадей правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.
3. Длина меньшей диагонали правильного шестиугольника равна . Найти радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.