Математика

Основные определения

 

Определение окружности: множество точек, удаленных от данной на одно и то же расстояние. Поэтому для рисования окружности удобно использовать циркуль – острие размещается в центре окружности, а ширина его раствора определяет радиус окружности (см. рис. 1).

 

Рис. 1. Окружность

Круг отличается от окружностью тем, что круг – это множество точек, удаленных от данной на расстояние не больше, чем радиус соответствующей окружности, которая ограничивает этот круг (см. рис. 2).

Рис. 2. Круг

Если корову привязать к колышку, то через некоторое время она выест вокруг себя круг травы, радиус которой будет равен длине веревки.

Окружность является частью круга, но иногда возникает необходимость рассмотреть круг без его границы. Такой круг называют открытым (см. рис. 3).

Рис. 3. Открытый круг

Хорда – это отрезок, соединяющий две любые точки окружности (см. рис. 4). Если хорда проходит через центр, то ее называют диаметром (см. рис. 4). Понятно, что диаметр – это самая длинная хорда.

Рис. 4. Хорда и диаметр

Надо отметить, что слова «радиус» и «диаметр» используются в двух смыслах. Соединим центр и произвольную точку окружности отрезком. Такой отрезок называется радиусом (см. рис. 5). Его длина называется не длиной радиуса, а просто радиусом.

Рис. 5. Радиус

То же самое относится к диаметру – это и отрезок, хорда – проходящая через центр и его длина. Ясно, что диаметр равен двум радиусам. Радиус и диаметр обозначают большими или малыми буквами  и  соответственно.

 

Число

 

 

Одна из главных особенностей окружности – это то, что любая окружность задается всего одним параметром (с точностью до расположения) – радиусом (см. рис. 6).

 

Рис. 6. Окружность задается радиусом

Кроме того, все окружности подобны друг другу (см. рис. 7).

Рис. 7. Окружности подобны

Это означает, что если в несколько раз увеличить или уменьшить радиус или диаметр окружности, то ровно во столько же раз изменится длина окружности . Это означает, что отношение длины окружности к диаметру для любой окружности одно и то же:

Эта величина не является рациональным числом, т. е. ее нельзя точно записать в виде отношения двух целых чисел, конечной десятичной или хотя бы периодической десятичной дроби.

Поэтому для этого числа ввели специальный символ , которым обозначается это иррациональное число. Несложно оценить эту величину.

Если описать вокруг окружности квадрат и вписать в нее квадрат (см. рис. 8), то можно получить такую оценку (периметр вписанного квадрата меньше длины окружности, а описанного – больше):

Рис. 8. Вокруг окружности описали и вписали квадрат

Длина стороны вписанного квадрата равна:

Тогда:

Длина стороны описанного квадрата равна:

Тогда:

Тогда:

Если увеличивать количество сторон вписанного и описанного правильных многоугольников, все больше и больше приближая их к окружности, то получаемая оценка числа  будет все точнее и точнее.

При решении задач и мы будем чаще всего использовать приближение , если иное не оговорено в условии.

---

 

Приближения числа

Архимед для уточнения значения числа  увеличивал число вершин в правильных многоугольниках, которые он вписывал в окружность и описывал вокруг окружности. Это очень трудоемкий процесс.

Архимед дошел до -угольников, что дало ему возможность показать, что число  находится в интервале:

Это соответствует точности два знака после запятой в десятичной записи, что мы обычно и используем в расчетах:

Существуют алгебраические способы оценки этого отношения без использования геометрических фигур. Например, число  равно сумме такого бесконечного ряда:

Это равенство открыл индийский математик Мадхава примерно в  году.

Чем больше дробей в скобках взять для расчета, тем точнее мы получим десятичное приближение числа . Проблема в том, что такой ряд очень медленно приближается к числу  (говорят, что он медленно сходится). Нужно взять около  дробей в скобках, чтобы получить оценку Архимеда. Однако сам Мадхава немного улучшил свою формулу и получил  точных знаков после запятой для числа.

Развитие математических методов в целом давало и новые возможности уточнения значения числа . Например, Исаак Ньютон предложил удобную формулу, которая использует тригонометрические функции. В XIX веке получили уже более  знаков числа .

В эпоху компьютеров стало возможным вычислить невероятное число знаков десятичного разложения числа . Сейчас они оцениваются триллионами или больше.

---

 

 

Длина окружности

 

 

Итак, определение числа  – это отношение длины окружности к ее диаметру:

 

Переписывая это выражение в привычном виде, получаем известную формулу длины окружности:

Таким образом, формула длины окружности не требует какого-то доказательства, а представляет собой эквивалентное определение числа .

Рассмотрим пример задачи, для решения которой пригодится формула длины окружности.

 

Задача 1. Какое расстояние нужно проплыть, чтобы перебраться в диаметрально противоположную точку берега круглого озера, длина береговой линии которого равна  км?

Решение

Нам необходимо вычислить диаметр окружности, длина которой равна . Формула:

Подумаем о том, что даже достаточно «круглое» озеро в реальности все-таки отличается от настоящего круга. Тот факт, что в условии дана длина берега  км, наводит на мысль, что это тоже сильно приближенное значение. Тогда привычное приближение  будет совершенно излишним и мы вполне можем считать:

Тогда пловцу придется преодолеть путь:

Более того, в условиях такой низкой точности вполне оправданно считать этот диаметр приблизительно  метров.

Ответ:  м.

 

Задача 2. Какого диаметра необходимо изготовить колесо, чтобы длина его обода была  см?

Решение

Задача аналогична предыдущей и решается с помощью той же самой формулы:

Разница в точности вычислений. Размеры даны в см, и, следовательно, наш результат не должен иметь погрешность больше  см.

Подставим различные приближения  в формулу:

Необходимой точности мы достигли только при приближении:

Ответ:  см.

 

Дуга окружности

 

 

Иногда требуется найти длину не всей окружности, а только ее части – дуги (см. рис. 9). Дуга окружности, кроме линейной меры (длины), имеет и градусную меру, которая совпадает с градусной мерой соответствующего центрального угла.

 

Рис. 9. Дуга окружности

Понятно, что длина дуги пропорциональна градусной мере. Если градусная мера равна , то длина дуги равна  длины окружности, т. е.:

Для произвольного угла  получаем формулу длины дуги:

Если же значение угла дано в радианах, то формула принимает вид:

(так как  рад).

 

Площадь круга

 

 

Формула площади круга, в отличие от формулы длины окружности, уже требует доказательства. Одним из первых его вариантов является доказательство, которое придумал Архимед.

 

Сводится оно к тому, что, разрезая круг на части, Архимед складывает из них фигуры, приближающиеся к прямоугольнику, и вычисляет его площадь.

Разрезав пиццу на 8 частей, можно сложить из нее фигуру, достаточно близкую к прямоугольнику (см. рис. 10) (по рисунку, конечно, больше похоже на параллелограмм, но по мере увеличения количества кусков, на которые мы круг разрезаем, угол между сторонами будет все ближе к прямому).

Рис. 10. Пиццу разрезали на 8 частей и сложили из нее фигуру, достаточно близкую к прямоугольнику

Боковые стороны здесь равны радиусу, а верхняя и нижняя являются половинами окружности, т. е. длина каждой – .Тогда площадь этой фигуры примерно равна:

На самом деле, это равенство уже точное. Пиццу очень мелко делить не получится, поэтому перейдем к обычному кругу.

Делим его на большее количество частей и складываем по тому же принципу. Получаем фигуры, все больше похожие на прямоугольник со сторонами  и .

Не вызывает сомнения, что можно сложить фигуру, близкую к прямоугольнику с любой точностью. Но площади всех этих фигур равны площади исходного круга. Следовательно, его площадь:

 

Сектор и сегмент

 

 

Часть круга, ограниченная двумя радиусами, называется сектором (см. рис. 11).

 

Рис. 11. Сектор

Понятно, что площадь сектора пропорциональна углу между радиусами. Если угол равен , то сектор совпадает с целым кругом, если угол равен , то сектор – это половина круга. Если угол равен , то площадь такого сектора равна  от площади круга:

Для произвольного угла  получаем формулу площади сектора:

Опять же, если угол дан в радианах, то:

Часть круга, которую отсекает хорда, называется сегментом (см. рис. 12).

Рис. 12. Сегмент

Названия похожи, старайтесь не путать. Сегмент, как и сектор, определяется радиусом и величиной центрального угла или равной ей градусной мерой дуги.

Видно, что сегмент является частью соответствующего сектора. Его площадь обычно находят как разность площадей сектора и равнобедренного треугольника:

 

Задача 3. Найти длину дуги окружности радиуса  м, градусная мера которой равна . Найти площади соответствующих сектора и сегмента (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 3

Решение

Найдем длину дуги:

Такая запись считается конечной и пишется в ответ.

Можно вычислить это значение приближенно, если необходимо:

Найдем площадь сектора:

Для вычисления площади сегмента нам понадобится площадь равнобедренного треугольника. Воспользуемся формулой:

Найдем площадь сегмента:

Ответ: .

При небольших углах сектор почти целиком состоит из треугольника, а на сегмент приходится совсем небольшая часть.

 

 

Взаимное расположение окружности и прямой

 

 

Мы рассмотрели основные характеристики окружности и круга: радиус, диаметр, длину окружности, площадь. Рассмотрели характеристики частей окружности и круга: дуги, сектора и сегмента.

 

Теперь рассмотрим взаимное расположение окружности и прямой. Это важно хотя бы по той причине, что все многоугольники состоят из отрезков, т. е. частей прямых. А значит, любая задача на окружность и многоугольник сводится к изучению взаимного расположения окружности и прямой.

Для окружности и прямой существует три типа возможного расположения (см. рис. 14):

1. прямая пересекает окружность в двух точках;
2. прямая касается окружности в одной точке;
3. прямая и окружность не имеют общих точек.

Рис. 14. Три типа возможного расположения окружности и прямой

Опустим перпендикуляр из центра  на прямую. Его длина  – это расстояние от центра до окружности.

Легко видеть следующее (см. рис. 15):

1. В случае пересечения прямой и окружности – это расстояние меньше радиуса. В самом деле, в равнобедренном треугольнике  высота меньше его боковых сторон.
2. Если расстояние больше радиуса, то прямая не имеет общих точек с окружностью. В самом деле, основание перпендикуляра  находится вне окружности. Любая наклонная  длиннее перпендикуляра, значит, любая точка  прямой находится от  еще дальше, чем .
3. В случае касания расстояние от центра до прямой равно радиусу.

Рис. 15. Расстояние от центра до окружности меньше радиуса; равно радиусу; больше радиуса окружности

Несложно убедиться, что это в самом деле так. Если  не перпендикуляр, то это наклонная. Но тогда должен существовать перпендикуляр , который должен быть короче, чем , что невозможно.

Верно и обратное: если прямая проходит через конец радиуса и перпендикулярна ему, то она является касательной (см. рис. 16). В этом случае надо показать, что общая точка  единственная. Если бы это было не так, т. е. была бы вторая точка, то мы получили бы первый случай, только в равнобедренном треугольнике было бы два прямых угла, что невозможно. Перпендикулярность касательной к радиусу, проведенному в точку касания, очень важный факт, и мы будем часто использовать его в решении задач.

Рис. 16. Касательная

Из перпендикулярности касательной и радиуса следует еще один важный факт. Проведем из точки  вне окружности две касательные. Получили два треугольника,  и . Они прямоугольные, так как касательные перпендикулярны радиусам и равны по катету и гипотенузе (см. рис. 17).

Рис. 17. Отрезки касательных, проведенных из одной точки

Нам здесь важно, что тогда равными получаются отрезки касательных  и , а также углы  и . Эти факты тоже часто используются при решении различных задач.

 

Центральный и вписанный углы

 

 

В уроке о вписанных и описанных многоугольниках мы рассмотрели понятие центрального и вписанного углов.

 

Центральный угол имеет вершину в центре окружности, а вписанный – на самой окружности (см. рис. 18).

Рис. 18. Центральный угол  и вписанный угол

Центральный угол  опирается на дугу  и равен ее градусной мере. Вписанный угол  опирается на ту же дугу  и равен половине ее градусной меры (несложно доказать, что он равен половине соответствующего центрального угла и, как следствие, половине дуги, на которую опирается).

Отсюда мы получили два важных следствия:

1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым, потому как опирается на дугу в .
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны друг другу.

 

Свойство хорд

 

 

Проведем две хорды окружности так, чтобы они пересеклись (см. рис. 19).

 

Рис. 19. Две хорды пересекаются

Понятно, что углы  равны как вертикальные. Но нужно заметить, что угол . Это так, потому что они опираются на одну и ту же дугу .

Рис. 20. Равные пары углов:  и

Но тогда два треугольника, которые мы получили, подобны. Таким образом, две хорды, пересекаясь, образуют подобные треугольники  и . Из подобия треугольников следует:

Что можно переписать так:

Произведения отрезков хорд, которые получаются при пересечении, равны.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал ru.onlinemschool.com (Источник)
2. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
3. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Центральный угол больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу, на . Найти градусную меру вписанного угла.
2. Найти длину дуги окружности радиуса , если ее градусная мера равна .
3. Площадь круга, описанного около равностороннего треугольника, больше площади вписанного в него круга на . Найти радиус вписанного круга.