Математика

 Теорема Пифагора

Древнегреческому учёному Пифагору приписывают открытие и доказательство следующей теоремы:

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

В истории математики находим утверждения, что эту теорему знали за много лет до Пифагора, – например, древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным.

В наше время теорема звучит так (подразумевая не только площади, но и длины сторон прямоугольного треугольника):

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a²+b².

 

 

Известны очень многие доказательства теоремы разными математическими методами, но одна из самых наглядных связана с площадями.

1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника: a+b. Площадь квадрата равна (a+b)²:

    

   

    

2. Проведем внутри четыре гипотенузы с так, чтобы образовалось четыре прямоугольных треугольника, равных данному (имеющих длины сторон a, b, c).

    

   

    

3. В центре образовался новый четырехугольник. Его стороны равны c, а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то угол четырёхугольника также равен 90°, потому что вместе все три угла дают 180°.

Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников и площади квадрата, образованного гипотенузами.

Площадь маленького квадрата равна с², площади равных треугольников равны $\frac{\mathit{ab}}{2}$. Значит, площадь большого квадрата равна $c^2+4\bullet \frac{\mathit{ab}}{2}=c^2+2\mathit{ab}$. С другой стороны, из пункта 1 мы знаем, что эта площадь равна ${(a+b)}^2$. Приравняем полученные выражения:

$c^2+2\mathit{ab}={(a+b)}^2$

$c^2+2\mathit{ab}=a^2+2\mathit{ab}+b^2$

$c^2=a^2+b^2$

Теорема доказана.

Это доказательство – не единственное доказательство теоремы Пифагора. У нее очень много доказательств.

Если требуется найти длину гипотенузы c, то выполняем сложение квадратов длин катетов a и b и определяем квадратный корень:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$.

Если требуется найти длину одного катета, то выполняем вычитание длины квадрата другого катета из квадрата длины гипотенузы и определяем квадратный корень:

$a=\sqrt{c^2-b^2}$.

Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.