Математика

Тема 2: Площадь

Урок 5: Теорема Пифагора

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

 Теорема Пифагора

Древнегреческому учёному Пифагору приписывают открытие и доказательство следующей теоремы:

Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

В истории математики находим утверждения, что эту теорему знали за много лет до Пифагора, – например, древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным.

В наше время теорема звучит так (подразумевая не только площади, но и длины сторон прямоугольного треугольника):

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2+b2.

 

 

Известны очень многие доказательства теоремы разными математическими методами, но одна из самых наглядных связана с площадями.

  1. Построим квадрат, сторона которого равна сумме катетов данного треугольника: a+b. Площадь квадрата равна (a+b)2:

     

     

  2. Проведем внутри четыре гипотенузы с так, чтобы образовалось четыре прямоугольных треугольника, равных данному (имеющих длины сторон a, b, c).

     

     

  3. В центре образовался новый четырехугольник. Его стороны равны c, а углы — прямые, так как острые углы прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, то угол четырёхугольника также равен 90°, потому что вместе все три угла дают 180°.

Следовательно, площадь квадрата состоит из четырёх площадей равных прямоугольных треугольников и площади квадрата, образованного гипотенузами.

Площадь маленького квадрата равна с2, площади равных треугольников равны ab2. Значит, площадь большого квадрата равна c2+4ab2=c2+2ab. С другой стороны, из пункта 1 мы знаем, что эта площадь равна (a+b)2. Приравняем полученные выражения:

c2+2ab=(a+b)2

c2+2ab=a2+2ab+b2

c2=a2+b2

Теорема доказана.

Это доказательство – не единственное доказательство теоремы Пифагора. У нее очень много доказательств.

Если требуется найти длину гипотенузы c, то выполняем сложение квадратов длин катетов a и b и определяем квадратный корень:

c=a2+b2.

Если требуется найти длину одного катета, то выполняем вычитание длины квадрата другого катета из квадрата длины гипотенузы и определяем квадратный корень:

a=c2-b2.

Обратная теорема используется как признак прямоугольного треугольника.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.