Математика

 Площадь трапеции.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие не параллельны.

 

 

Дана трапеция ABCD.

Параллельные стороны AD и BC – основания трапеции.

AB и CD – боковые стороны трапеции.

BD – диагональ.

Из точки B опустим перпендикуляр BH на AD. BH – высота трапеции.

Можно из точки D опустить перпендикуляр на прямую ВС, получим точку Н₁ и еще раз получим высоту трапеции. BH = DH₁ = h, потому что четырехугольник BH₁DH – параллелограмм: противоположные стороны BH₁ и HD параллельны по условию, противоположные стороны BH и DH₁ параллельны как два перпендикуляра параллельным прямым. В параллелограмме противоположные стороны равны, а значит, BH = DH₁.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

$\mathit{S}\mathit{=}\frac{\mathit{BC}\mathit{+}\mathit{AD}}{\mathit{2}}\mathit{*}\mathit{BH}$

Чтобы доказать эту теорему, ее нужно свести к известной: теореме о площади треугольника.

Разобьем трапецию на два треугольника – ABD и BDC, и используем свойство площади любого многоугольника: находим площадь трапеции, как сумму площадей треугольников.

$S=\frac{1}{2}*\mathit{BH}*\mathit{AD}+\frac{1}{2}*\mathit{BH}*\mathit{BC}=\frac{1}{2}*\mathit{BH}*(\mathit{AD}+\mathit{BC})$

Таким образом мы вывели формулу площади трапеции.