Математика

Египетский треугольник

 

Мы уже много раз обсуждали вопрос, почему так подробно изучаем именно треугольник (минимальная замкнутая ломаная, на треугольники можно разбить любой многоугольник и т. д.).

 

Но среди треугольников тоже можно выделить несколько особых видов, которые представляют особый интерес. Мы уже говорили о равнобедренном треугольнике (см. рис. 1) и его частном случае – равностороннем (см. рис. 2), а также о прямоугольном треугольнике (см. рис. 3).

Рис. 1. Равнобедренный треугольник

Рис. 2. Равносторонний треугольник

Рис. 3. Прямоугольный треугольник

Сегодня мы будем подробно изучать свойства именно прямоугольных треугольников. С прямыми углами мы сталкиваемся сплошь и рядом: угол парты, ноутбука, дома – этот ряд можно продолжать очень долго.

Прямой угол действительно особенный. Две прямые при пересечении образуют две пары углов, и почти всегда в одной паре углы больше, чем в другой (см. рис. 4). Кроме одного случая – если прямые пересекаются под прямым углом (рис. 5).

Рис. 4. При пересечении двух прямых образуются две пары углов, и почти всегда в одной паре углы больше, чем в другой

Рис. 5. Две прямые пересекаются под прямым углом

Понятно, что стена дома, чтобы он не упал, должна стоять перпендикулярно фундаменту (под прямым углом к нему) (см. рис. 6). Поэтому еще в древности остро стоял вопрос построения прямого угла. И неоценимую помощь в этом оказал прямоугольный треугольник.Древние египтяне знали, что если длины сторон треугольника образуют пропорцию , то такой треугольник будет прямоугольным. Его так сейчас и называют – египетским (см. рис. 7).

Рис. 6. Чтобы дом не упал, стена дома должна стоять перпендикулярно фундаменту

Рис. 7. Египетский треугольник

---

 

Как построить прямой угол?

Как же египтяне использовали свойства египетского треугольника на практике? Рассмотрим один из возможных способов. Возьмем веревку и разделим ее на  равных частей (можно с помощью линейки отмерять кусок веревки длиной ) (см. рис. 8).

Рис. 8. Веревку разделили на  равных частей

Соединим концы веревки друг с другом (рис. 9).

Рис. 9. Концы веревки соединили друг с другом

Вобьем в землю два колышка на расстоянии  друг от друга. Натянем между ними веревку (см. рис. 10).

Рис. 10. Веревку растянули между колышками, вбитыми в землю на расстоянии  друг от друга

Дальше наша задача – с помощью третьего колышка найти такую точку, чтобы веревка оказалась натянутой и оставшиеся две стороны получившегося треугольника оказались равными  и  (см. рис. 11). В результате мы получим прямой угол (см. рис. 12).

Рис. 11. С помощью третьего колышка нашли такую точку, чтобы веревка оказалась натянутой

Рис. 12. В результате получили прямой угол и стороны, равные

---

 

 

 

Теорема Пифагора

 

 

Конечно, египетский треугольник не единственный пример прямоугольного треугольника. Можно, например, построить прямоугольный треугольник, у которого один катет длиннее другого в  раз (см. рис. 13).

 

Рис. 13. Прямоугольный треугольник, где один катет длиннее другого в  раз

Но можно ли все-таки выделить в египетском треугольнике какое-то свойство, которое «делает его прямоугольным»? Заметим, что числа ,  и  связаны следующим соотношением:

Т. е. сумма квадратов двух меньших сторон равна квадрату большей стороны. Может быть, это и есть то самое искомое свойство прямоугольного треугольника? Проверим.

Построим прямоугольный треугольник, например, с катетами  и . Проведем гипотенузу и попробуем измерить ее длину. Получилось примерно  (см. рис. 14).

Рис. 14. У прямоугольного треугольника с катетами  и  гипотенуза примерно равна

Проверяем нашу гипотезу:

Получились очень близкие значения. Похоже, что разница только в погрешности измерений.

Итак, у нас есть гипотеза: если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов его меньших сторон (катетов) равна квадрату гипотенузы. Сейчас мы докажем, что это верное утверждение.

Первое доказательство этого факта приписывается Пифагору (см. рис. 15). Поэтому утверждение так и называется – теорема Пифагора.

Рис. 15. Пифагор

Существует более сотни доказательств, мы рассмотрим одно из самых популярных.

Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (см. рис. 16).

Рис. 16. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы  равен сумме квадратов катетов  и :

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата следующим образом (см. рис. 17).

Рис. 17. Построение квадрата при помощи прямоугольных треугольников

Его сторона равна  (см. рис. 18). Площадь этого большого квадрата равна .

Рис. 18. Квадрат со стороной , и площадью

С другой стороны, площадь этого квадрата можно посчитать как сумму площадей четырех треугольников и маленького квадрата. Площадь каждого из прямоугольных треугольников равна , площадь маленького квадрата равна .

Приравнивая площади, получаем:

Теорема доказана.

 

Теорема, обратная теореме Пифагора

 

 

Теорема Пифагора – это свойство прямоугольного треугольника: если треугольник прямоугольный, то у него обязательно квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других.

 

Работает ли это соотношение как признак, т. е. в обратную сторону? Можно ли утверждать, что если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, то он прямоугольный? Или другая эквивалентная формулировка того же утверждения: можно ли утверждать, что не существует непрямоугольных треугольников, у которых квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других? Обратная теорема Пифагора тоже верна. Давайте докажем это.

Теорема, обратная теореме Пифагора: дан треугольник , в котором . Доказать, что  (см. рис. 19).

Рис. 19. Треугольник, в котором квадрат гипотенузы  равен сумме квадратов катетов  и :

Доказательство.

Построим еще один треугольник . Для этого начертим отрезки  и  под прямым углом: . Соединим . Получим прямоугольный треугольник, у которого две стороны равны двум сторонам исходного (см. рис. 20).

Рис. 20. Треугольник , где стороны ,  начерчены под прямым углом

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы нового треугольника равен сумме квадратов его катетов:

Но это же условие выполняется и для стороны  первого треугольника:

Значит:

Но тогда треугольники  и  равны по трем сторонам (третий признак равенства треугольников). Значит, равны и их углы, в частности:

Т. е. треугольник  тоже прямоугольный.

Теорема доказана.

Прямая и обратная теоремы Пифагора – это мощные и часто используемые геометрические инструменты, которые позволяют решить огромное количество задач.

Но вместе с тем, несмотря на широкую известность, теорема Пифагора является всего лишь частным случаем более общей теоремы (теоремы косинусов), которая позволяет, зная три стороны треугольника, не просто определить, есть ли в этом треугольнике прямой угол или нет, а найти величину углов треугольника. Подробнее о ней мы поговорим на следующем уроке.

 

Тригонометрия

 

 

Расстояние можно измерять в единицах длины (100 км), а можно, например, в единицах времени (2 дня пути) (см. рис. 21).

 

Рис. 21. Расстояние между точками  и  можно измерять по-разному

В зависимости от задачи удобными могут оказаться те или иные способы и единицы измерения. Например, расстояние между точками  и  всего пара километров, но машина преодолеет его не меньше чем за 15 минут (см. рис. 22).

Рис. 22. Расстояние между точками  и  всего пара километров, но машина преодолеет его не меньше чем за 15 минут

Мы умеем измерять углы в градусах. Для этого можно использовать специальный инструмент – транспортир (см. рис. 23).

Рис. 23. Транспортир

Поскольку градус – это  часть окружности, то градусная мера угла фактически показывает, какую часть от полного круга он составляет (см. рис. 24).

Рис. 24. Градусная мера угла, показывает, какую часть от полного круга угол составляет

Но это не всегда удобно. Рассмотрим такой пример: третий признак равенства треугольников (по трем сторонам) говорит нам о том, что любой треугольник однозначно задается длинами трех своих сторон. Но тогда, зная длины сторон треугольника  мы должны уметь находить и его углы.

Т. е. углы можно измерять и с помощью линейки. Как это делать? Вспомним еще один признак – признак подобия треугольников (по двум углам): если у треугольников равны углы, то эти треугольники подобны. Т. е. при пропорциональном увеличении или уменьшении длин сторон треугольника углы не меняются (см. рис. 25). Напрашивается вывод: углы могут быть как-то связаны с отношениями длин сторон (т. к. именно отношение не меняется, каким бы ни был коэффициент пропорциональности).

Рис. 25. При пропорциональном увеличении или уменьшении длин сторон треугольника углы не меняются

Раздел математики, который занимается решением задачи измерения углов через измерения длин, называется тригонометрия – (греч.) «измерение треугольников». И в начале его изучения одним из наших главных инструментов будет как раз прямоугольный треугольник.

 

Тригонометрические функции

 

 

Рассмотрим такую практическую задачу: как измерить высоту дома (или дерева)? На самом деле, существует много способов, рассмотрим один из них. Вытянем руку с поднятым большим пальцем перед собой и будем отходить от дома до тех пор, пока конец пальца не совместится с крышей дома (см. рис. 26).

 

Рис. 26. Вытянули руку с поднятым большим пальцем перед собой и отошли от дома до тех пор, пока конец пальца не совместился с крышей дома

Зная параметры своего тела и измерив расстояние до дома, можно найти высоту дома:

где  – высота дома,  – длина пальца,  – расстояние от человека до дома,  – длина руки (см. рис. 27).

Рис. 27. Зная параметры своего тела и измерив расстояние до дома, можно найти высоту дома

Как получилась эта формула? Это следствие подобия прямоугольных треугольников с общим острым углом –  и  (см. рис. 28).

Рис. 28. Подобные треугольники  и  с общим острым углом

Действительно, у подобных треугольников стороны пропорциональны, значит:

Для нас сейчас важен следующий вывод: какой бы прямоугольный треугольник с острым углом  мы ни взяли, отношение длин любых двух его сторон будет одинаковым. Действительно, любые два прямоугольных треугольника с равным острым углом будут подобны. Значит, все такие треугольники будут подобны и отношение длин сторон у всех у них будет одинаковым (см. рис. 29).

Рис. 29. Подобные прямоугольные треугольники с равными острыми углами

Получается, что угол  можно определить через отношение длин сторон соответствующего прямоугольного треугольника. Действительно, каждому острому углу  можно поставить в соответствие, например, отношение длины противолежащего ему катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника, содержащего этот острый угол (см. рис. 30).

Рис. 30. Каждому острому углу  прямоугольного треугольника можно поставить в соответствие отношение длины противолежащего ему катета к прилежащему

При этом такое отношение будет одинаковым и не будет зависеть от размеров прямоугольного треугольника, а значит, мы получили функцию:

Но мы пока не ответили на другой важный вопрос: можно ли по отношению  однозначно восстановить острый угол ? Действительно, вдруг есть другой прямоугольный треугольник с острым углом , в котором:

Рассмотрим эти два треугольника с углами  и  (см. рис. 31).

Рис. 31. Прямоугольные треугольники , где , и , где

В них равны прямые углы, а стороны, образующие эти прямые углы, пропорциональны:

Тогда эти треугольники подобны, значит, их углы равны, поэтому .

Итак, острый угол прямоугольного треугольника можно однозначно определить через отношение длин сторон этого прямоугольного треугольника.

Мы ввели в качестве примера такую функцию угла – отношение противолежащего катета к прилежащему катету (см. рис. 32). Такая функция называется тангенсом угла:

Рис. 32. Тангенс – отношение противолежащего катета  к прилежащему катету

Понятно, что мы могли ввести обратное отношение – прилежащего катета к противолежащему катету. Такую функцию называют котангенсом угла:

Поскольку в подобных треугольниках пропорциональны любые пары сторон, то можно было взять для эквивалентного определения острого угла не только отношение катетов, но и отношение катета и гипотенузы.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе называется синусом угла (см. рис. 33):

Рис. 33. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе

Отношение прилежащего катета к гипотенузе называется косинусом угла (см. рис. 34):

Рис. 34. Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе

Можно было бы ввести еще две функции: отношение гипотенузы к катетам (они называются секансом и косекансом), но они почти не используются на практике:

Все введенные нами функции имеют общее название – тригонометрические функции.

 

Значения тригонометрических функций

 

 

Найдем значения тригонометрических функций нескольких самых распространенных острых углов (см. рис. 35).

 

Рис. 35. Прямоугольный треугольник с катетами  и , гипотенузой  и острыми углами  и

Решение этой задачи нам облегчит следующий факт: синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого. Аналогично тангенс альфа равен котангенсу бета.

Или по-другому:

Доказать эти утверждения несложно, используя определения и тот факт, что катет, являющийся прилежащим для одного из острых углов, является противолежащим для другого и наоборот.

Начнем с угла . Рассмотрим соответствующий прямоугольный треугольник (см. рис. 36).

Рис. 36. Прямоугольный треугольник с острым углом, равным

Мы знаем, что катет, лежащий против угла в  равен половине гипотенузы. Следовательно, по определению:

Чтобы найти значение остальных функций по определению, нам понадобится длина второго катета. Найдем ее, используя доказанную ранее теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Откуда:

Тогда:

Для угла  найти значения функций не составит труда, используя формулы, которые мы перед этим доказали:

Или же вы можете сами это сделать, используя определение и уже готовый рисунок (см. рис. 37).

Рис. 37. Прямоугольный треугольник с катетами  и , гипотенузой  и острыми углами  и

Итак:

Рассмотрим теперь угол . Т. к. один острый угол прямоугольного треугольника равен , то и второй тоже равен: . И прямоугольный треугольник является равнобедренным (см. рис. 38).

Рис. 38. Прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами, равными

Если катеты этого треугольника равны , то, по теореме Пифагора:

Получаем:

Подведем итог и посмотрим на все значения найденных нами тригонометрических функций (см. рис. 39).

Рис. 39. Значения тригонометрических углов

Понятно, что для нахождения тригонометрических функций углов  мы использовали свойства прямоугольных треугольников с такими острыми углами. А как найти, например, ?

Самый простой способ – нарисовать, используя транспортир, прямоугольный треугольник с таким углом, затем измерить линейкой длины сторон, поделить и получить значение искомой тригонометрической функции.

Однако понятно, что при таком способе измерения погрешность может оказаться достаточно большой (при построении угла, при измерении длин). И при расчете параметров каких-то технических изделий – например, размеров крыла самолета или арочных пролетов моста – погрешность даже в сотые или тысячные может привести к катастрофическим результатам. Поэтому были придуманы более точные способы вычисления значений тригонометрических функций. Подробнее об этом можно узнать ниже.

---

 

Как вычислили значения тригонометрических функций?

Для вычисления точных значений различных функций в математике используют приближение – как кривую можно сколь угодно точно приблизить ломаной, так и функции можно приближать другими функциями, с которыми у них совпадают значения, но которые легче вычислить (см. рис. 40). Обычно в качестве таких функций используют многочлены.

Рис. 40. Приближение функции другой функцией

Например, оказалось, что:

Чтобы доказать это утверждение, школьной математики недостаточно, поэтому примем его на веру, но попробуем проверить.

Только надо помнить, что  здесь измеряется не в градусах, а в радианах (Углы и отрезки. Измерения).

Рассмотрим, например, :

Получаем:

Чем больше слагаемых будем брать, тем точнее получится результат. Если остановимся на первом, получим:

Близко к , но погрешность довольно большая.

Если учтем второе слагаемое, получим:

Уже гораздо ближе.

Если третье, то:

Т. е. с точностью до десятитысячных приближенное значение совпадет с абсолютным.

Такое приближение функции бесконечным многочленом называется разложением в ряд. Использование рядов позволяет с любой точностью вычислять значения самых разных функций.

---

Для нас же важен результат: если мы знаем угол, то можем найти значение любой тригонометрической функции этого угла. И наоборот, зная значение тригонометрической функции, мы можем найти величину соответствующего острого угла. Раньше для этого использовали специальные таблицы – таблицы Брадиса (см. рис. 41) – или особые инженерные калькуляторы, а сейчас это можно сделать с помощью калькулятора почти в любом мобильном телефоне.

Рис. 41. Таблица Брадиса

 

Вычисление длин сторон и градусной меры углов прямоугольного треугольника

 

 

Может возникнуть вопрос: мы ввели тригонометрические функции, умеем вычислять их значения – и как это поможет нам измерять углы? Зачем они вообще нужны? Предположим, что мы знаем острый угол и сторону прямоугольного треугольника. Раньше по этим данным мы бы не могли найти длины остальных сторон (кроме частных случаев – когда треугольник равнобедренный с углами по  или когда в нем есть угол  градусов). Теперь это сделать несложно.

 

Рассмотрим конкретный пример: дан треугольник с углом  и гипотенузой  (см. рис. 42).

Рис. 42. Прямоугольный треугольник с углом  и гипотенузой

Найдем длины катетов этого треугольника. Используем определение синуса:

Откуда:

Второй катет можно найти либо используя определение косинуса, либо используя теорему Пифагора.

Кроме того, зная длины сторон прямоугольного треугольника, теперь мы умеем вычислять значения его углов. Например, в египетском треугольнике, о котором мы говорили в начале урока, стороны равны  (см. рис. 43). Найдем острые углы этого треугольника.

Рис. 43. Египетский треугольник

Синус угла, который лежит против катета с длиной , равен:

Осталось найти, какому острому углу соответствует этот синус. Для этого в калькуляторе нужно использовать функцию, обратную вычислению синуса:

Значит, второй острый угол будет равен приблизительно:

 

Заключение

Из рассмотренных примеров становится понятно, почему этот раздел называется тригонометрия – измерение треугольников. С помощью тригонометрических функций мы можем вычислять неизвестные нам элементы треугольников. Пока мы научились это делать для прямоугольных треугольников. На следующем уроке мы расширим применение тригонометрических функций и для произвольных треугольников.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 8 класс. Учебник. –М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «webmath.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «treugolniki.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «yaklass.ru» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна , а основание равно . Найти длину высоты, проведенную к основанию.
2. В треугольнике  стороны , . Высота , опущенная на сторону , равна . Найти длину стороны  и градусную меру .
3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна , а один их острых углов равен . Выразить второй острый угол и катеты через  и .