Математика

Основные тригонометрические тождества

 

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) однозначно определяют острый угол. Это значит, что если нам известно значение хотя бы одной из этих функций, то мы можем найти и сам острый угол, и значение оставшихся трех тригонометрических функций (см. рис. 1).

 

Рис. 1. Взаимосвязь тригонометрических функций

Взаимосвязь тригонометрических функций:

Например, глядя на определения тангенса и котангенса, легко заметить, что:

Потому что , и наоборот.

Можно переписать в эквивалентном виде:

Если мы знаем, что , то сразу скажем: . Нам даже не надо искать само значение угла.

Кроме того, несложно заметить, что:

И аналогично:

Мы уже почти научились по значению одной тригонометрической функции угла находить остальные. Нужно только связать между собой синус и косинус.

Вспомним, что для прямоугольного треугольника верна теорема Пифагора:

Чтобы перейти к формулам для синуса и косинуса, разделим обе части этого равенства на . Получим:

Откуда, по определению:

Можно получить и другие формулы, связывающие тригонометрические функции одного угла. Например, если мы хотим связать тангенс и косинус, то, взяв формулу

, поделим обе части на , получим:

Откуда:

Аналогично можно получить формулу:

Полученные нами формулы называются основными тригонометрическими тождествами. С их помощью можно, зная значение одной из тригонометрических функций острого угла, найти значения трех остальных. С примером решения такой задачи можно ознакомиться ниже.

---

 

Вычисление значений тригонометрических функций

Предположим, что нам известно значение синуса острого угла:

Найдем значения остальных тригонометрических функций этого угла.

Зная синус, несложно найти косинус, используя формулу:

Подставляем, получаем:

Поскольку косинус острого угла, по определению, – это отношение длин двух сторон, то он может принимать только положительные значения. Значит,

Теперь найти тангенс и котангенс не составит проблем:

Можно было действовать и по-другому, например найти котангенс через синус, используя формулу:

Потренируйтесь самостоятельно находить значения остальных тригонометрических функций острого угла по известному тангенсу или котангенсу.

---

Возникает вопрос: зачем нужно рассматривать целых четыре функции, если можно использовать одну, а все остальные при необходимости выражать через эту одну?

Конечно, можно. Вопрос только в удобстве. Если какая-то конструкция часто используется, то ее удобно обозначить отдельно, а также вывести ее свойства, чтобы использовать их при решении конкретных задач.

К примеру, длину можно было бы измерять только в метрах. Но расстояние между городами или размеры телефона в них измерять не очень удобно. Не говоря уже про размеры бактерий или расстояния между планетами. Поэтому люди используют разные единицы измерения для одной и той же величины (миллиметры, километры, дюймы, мили, световые года и т. д.) в зависимости от удобства при решении той или иной задачи (см. рис. 2).

Рис. 2. Использование различных единиц измерения

Такая же ситуация с тригонометрическими функциями – оказалось, что эти  соотношения используются настолько часто, что удобнее ввести и изучать их отдельно, чем выражать через одно.

Более того, можно ввести и другие тригонометрические функции, но они не прижились именно из-за того, что редко встречаются при решении практических задач. Подробнее о них ниже.

vetkaДругие тригонометрические функции

Наблюдательный человек заметит, что при определении тригонометрических функций мы перебрали не все комбинации (см. рис. 3): можно гипотенузу разделить на каждый из катетов.

Рис. 3. Взаимосвязь тригонометрических функций

Взаимосвязь тригонометрических функций:

Действительно, можно ввести еще две функции – секанс и косеканс:

Несложно заметить, что мы получили функции, обратные синусу и косинусу.

В наше время эти функции практически не используют. Слишком просто их заменить синусом и косинусом. Кстати, по этой причине в некоторой литературе не выписываются свойства для котангенса – считается, что его проще выражать через тангенс.

На самом деле, никакой принципиальности в том, чтобы использовать именно эти, а не другие функции, нет. Просто при решении различных задач чаще встречались именно выражения, содержащие синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, поэтому им дали отдельные названия и их подробно изучают.

 

Диапазон значений синуса и косинуса угла

 

 

Какие значения могут принимать тригонометрические функции? Рассмотрим . Поскольку мы определяли синус для острых углов прямоугольных треугольников, то угол  может принимать значение от  до . Формально, не включая эти значения. Но угол может сколь угодно близко к ним приближаться.

 

Зафиксируем гипотенузу  и уменьшим угол  почти до нуля (см. рис. 4).

Рис. 4. Уменьшенный почти до  угол  при зафиксированной гипотенузе

Почти до нуля уменьшится и катет . А вместе с ним и :

Поэтому можем определить:

Если начать увеличивать  (см. рис. 5), то будет увеличиваться и катет , а вместе с ним будет увеличиваться и значение синуса.

Рис. 5. Увеличенный почти до  угол

Чем ближе к  будет угол, тем ближе катет  будет к гипотенузе . Значит:

Поэтому можем определить:

Значение синуса не может превышать  – это его максимальное значение. Больше синус быть не может.

Попробуйте самостоятельно провести аналогичные рассуждения для косинуса острого угла и убедиться, что он будет убывать с увеличением угла от  до . И максимальное значение:

Минимальное значение:

Такие выводы можно сделать сразу, используя полученное на прошлом уроке свойство:

 

Диапазон значений тангенса и котангенса угла

 

 

Рассмотрим теперь значения тангенса и котангенса. Будем увеличивать угол от  до . Катет  будет меняться от  до . С катетом  все с точностью до наоборот: от  до .

 

Получается, что:

Поэтому можем определить:

А :

Но мы знаем, что деление на  не определено. Как же быть? Если проследить изменение значений тангенса, то заметно, что они неограниченно растут при приближении угла к . Поэтому можно сказать, что: . Но поскольку у нас нет такого числа, как бесконечность, говорят, что  не существует или, по-другому, не определен.

 не определен

Это вполне согласуется с уже полученными свойствами. Действительно:

Поскольку деление на  не определено, то и  должен быть не определен.

С котангенсом все аналогично. Несложно получить:

 – не определен

 

Расширение диапазона углов для синуса и косинуса

 

 

Мы ввели тригонометрические функции, чтобы заменить непосредственное измерение углов измерением длин. И сделали это для острых углов, т. к. использовали свойства прямоугольных треугольников.

 

Вспомним, что математика имеет инструментальный характер. Чтобы инструмент был удобным, мы можем расширять или дополнять его. При этом обычно это делается так, чтобы свойства расширенных инструментов совпадали со свойствами уже существующих (или не противоречили им). Именно поэтому мы расширили значения тригонометрических функций для углов  и , которые не являются острыми.

Но углы могут быть и больше  (например, в тупоугольном треугольнике) (см. рис. 6).

Рис. 6. Угол больше  в тупоугольном треугольнике

И хочется расширить наш удобный инструмент измерения углов с помощью линейных измерений на произвольный угол (от  до ), сохранив при этом все полученные нами свойства (например, основные тригонометрические тождества).

Стороны угла можно продлить сколь угодно далеко. Для измерения длин нам необходимо их ограничить. Когда угол был острый, мы использовали для этих целей прямоугольный треугольник. Для произвольного угла можно использовать еще одну простую фигуру – окружность.

Для острых углов от размера прямоугольного треугольника ничего не зависело, т. к. все прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны (см. рис. 7).

Рис. 7. Подобные прямоугольные треугольники с равным острым углом

Поскольку любые две окружности подобны (см. рис. 8), то от размера окружности тоже ничего зависеть не будет.

Рис. 8. Окружности подобны

Поэтому можем выбрать в качестве эталона окружность радиуса  (см. рис. 9) (или, как ее еще называют, единичную окружность).

Рис. 9. Единичная окружность

Можно сказать и по-другому: какую бы окружность мы ни взяли – можно обозначить ее радиус за  – значения тригонометрических функций от этого не изменятся.

Итак, начертим единичную окружность с центром в вершине рассматриваемого угла.

Рассмотрим декартову систему координат, начало которой совпадает с центром этой окружности и, соответственно, вершиной угла. А ось  направлена вдоль одной из сторон этого угла (рис. 10).

Рис. 10. Тригонометрическая окружность

Тогда вершины угла – это точки: ,  и подвижная точка  на окружности, координаты которой будут зависеть от величины угла  (рис. 11).

Рис. 11. Точки на тригонометрической окружности

Точка  может двигаться по часовой стрелке к точке  (угол  равен ) (см. рис. 12) или против часовой стрелки до точки  как бы с другой стороны (угол  равен ) (см. рис. 13).

Рис. 12. Точка  двигается по часовой стрелке к точке  (угол  равен )

Рис. 13. Точка  двигается против часовой стрелки до точки  с другой стороны (угол  равен )

Понятно, что точка  однозначно задает угол, и наоборот – каждому углу соответствует ровно одна такая точка. Поэтому нам достаточно следить за положением (координатами) этой точки, чтобы определять величину угла.

Как мы уже говорили, главная задача при расширении инструмента – чтобы сохранялись его свойства. Посмотрим, как будут выглядеть уже известные нам тригонометрические функции острого угла. Понятно, что им соответствует расположение точки  в первой четверти.

Построим прямоугольный треугольник, чтобы воспользоваться определением. Для этого опустим перпендикуляр из точки  на ось  (см. рис. 14).

Рис. 14. Построенный прямоугольный треугольник

По определению: синус угла – это отношение противолежащего катета к гипотенузе (радиусу окружности, который мы считаем равным ).

Получаем, что – ордината точки . Аналогично получаем, что  – абсцисса точки .

Таким образом, можно дать новое определение синуса и косинуса угла  – это координаты  и  точки : . Это определение позволяет нам его использовать для любых углов, при этом для острых углов оно совпадает с ранее введенным.

Попробуем вычислить значение синуса и косинуса, например . При пересечении двух прямых образуется четыре угла. Но, как мы знаем, по любому из них можно однозначно восстановить все остальные (см. рис. 15):

Рис. 15. По одному из углов можно восстановить все остальные

Поэтому логично ожидать, что синусы и косинусы таких углов будут обладать какими-то особыми свойствами.

 

Свойства синуса и косинуса для произвольных углов

 

 

Отметим точку  и точку  (см. рис. 16).

 

Рис. 16. Отмеченные точки  и

Несложно заметить, что прямоугольные треугольники, которые получились, равны (гипотенузы – радиусы, острые углы по ) (см. рис. 17).

Рис. 17. Полученные равные прямоугольные треугольники

Значит, у этих двух точек равны ординаты и равны по модулю, но противоположны по знаку абсциссы. Используя введенное определение, получаем, что:

Несложно обобщить эти свойства для произвольных углов:

Попробуйте самостоятельно доказать похожие свойства:

Обратите внимание, что, расширив тригонометрические функции на углы больше  мы получили, что значение синуса и косинуса может быть отрицательным. Однако несложно видеть, что в силу определения оно по модулю не может быть больше .

Нас будут интересовать значения тригонометрических функций для углов треугольника, которые могут быть от  до . Им будут соответствовать точки окружности первой и второй четверти (см. рис. 18).

Рис. 18. Первая и вторая четверти тригонометрической окружности

Ординаты этих точки всегда будут положительными, т. е. синус может принимать значения только в интервале , а вот абсцисса точек второй четверти отрицательна. Поэтому косинус острого угла всегда будет положительным, а тупого – отрицательным.

 

Расширение диапазона углов для тангенса и котангенса

 

 

Мы расширили определение синуса и косинуса. А что же с тангенсом и котангенсом?

 

Как мы уже говорили, расширение инструмента должно сохранять его свойства.

Мы знаем, что:

Раз мы определили: , , то должно выполняться:

Можем принять полученные формулы в качестве определения для тангенса и котангенса.

Мы узнаем, что тангенс и котангенс для острых углов – положительные, несложно получить, что для тупых углов они будут отрицательными (если одно из чисел положительно, другое отрицательно, то их отношение будет отрицательным).

Например:

Обратите внимание, что:

Это неслучайное совпадение:

Мы использовали полученные ранее свойства для синуса и косинуса.

Попробуйте, используя их, самостоятельно вывести аналогичные формулы для:  

---

 

Основные тригонометрические тождества

Будут ли верны для расширенных тригонометрических функций основные тождества?

Очевидно, да, т. к. мы через них определили тангенс и котангенс. Перемножим эти два равенства, получим еще одно тождество:

Чуть сложнее с тождеством:

Используем определение (см. рис. 19):

Рис. 19. Тригонометрические функции на единичной окружности

Обратите внимание, что  и  – это длины катетов прямоугольного треугольника для точки  из любой четверти (см. рис. 20).

Рис. 20.  и  – длины катетов прямоугольного треугольника для точки  из любой четверти

Значит, для них выполняется теорема Пифагора:

Т. е.:

Значит,  для любых углов.

Следующие тождества докажите самостоятельно, используя уже доказанные тождества:

---

 

 

Теорема синусов

 

 

Итак, мы расширили инструмент тригонометрических функций и можем использовать их не только для острых углов. Воспользуемся этим инструментом.

 

Мы знаем формулу для вычисления площади треугольника через длину его стороны и высоты, которая к ней проведена (см. рис. 21):

Рис. 21. Произвольный треугольник со стороной  и проведенной к ней высотой  

Но высота – это дополнительный элемент, который может быть неизвестен (а его измерение на практике затруднено). Поэтому хочется иметь формулу, позволяющую находить площадь треугольника только с использованием его основных элементов – углов и треугольников. Попробуем избавиться от высоты в формуле: .

Рассмотрим остроугольный треугольник (см. рис. 22).

Рис. 22. Рассматриваемый остроугольный треугольник

В нем все три высоты лежат внутри. Проведем любую из них (см. рис. 23) и воспользуемся определением синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

Рис. 23. Остроугольный треугольник со стороной  и проведенной к ней высотой

Откуда:

Несложно получить аналогичные формулы:

В прямоугольном треугольнике (см. рис. 24) ситуация с острыми углами  аналогична:

Рис. 24. Рассматриваемый прямоугольный треугольник

А для прямого угла :

Наконец, в тупоугольном треугольнике (см. рис. 25) все аналогично для острых углов :

Рис. 25. Рассматриваемый тупоугольный треугольник

Рассмотрим тупой угол . Проведем высоту :

Откуда:

(по доказанному нами свойству синуса).

Итак, мы доказали, что для любого треугольника:

В первых двух выражениях мы видим одинаковые ненулевые множители . Попробуем сократить на них:

Или, если переписать в виде пропорции:

Аналогично можно получить:

Или, обобщая:

Это равенство означает, что если в треугольнике делить длину стороны на синус противолежащего угла, то всегда будем получать одно и то же значение. Или иначе: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Это равенство носит название теоремы синусов. Это полезный инструмент, который позволяет нам находить значение недостающих элементов треугольника (например, по двум углам и стороне найти значение еще одной стороны).

Можно ли вычислить значение этих дробей? Имеет ли оно какой-то геометрический смысл?

Опишем около треугольника  окружность. Через центр  проведем диаметр . Углы  и  опираются на одну и ту же окружность, следовательно, они равны:  (см. рис. 26).

Рис. 26. Равные углы  и , опирающиеся на одну и ту же окружность

Раз углы равны, то равны и синусы: . Тогда:

Но треугольник  является прямоугольным (угол  вписанный, опирается на диаметр), поэтому:

Подставив это выражение в правую часть равенства, получим:

Т. е. все три отношения из теоремы синуса равны диаметру описанной окружности вокруг треугольника:

Очевидно, что наши рассуждения доказывают и саму теорему синусов. Ведь все три отношения для нашего треугольника равны диаметру описанной окружности, а значит, равны и друг другу.

---

 

ГМТ, из которых данный отрезок виден под одним и тем же углом

Рассмотрим все треугольники с основанием BC, вписанные в данную окружность (см. рис. 27).

Рис. 27. Рассматриваемые треугольники с основанием BC, вписанные в окружность

По теореме синусов:

Т. к. для всех таких треугольников будут равны  и , то для них будут равны и .

Как мы уже знаем, синусы углов треугольника будут равны в двух случаях:

Первый вариант выполняется для точек верхней дуги окружности, второй – нижней (рис. 28).

Рис. 28. Первый случай выполняется для точек верхней дуги окружности, второй  – для нижней точки

Несложно доказать и обратное утверждение: если любая точка лежит вне окружности, то , т. е. из нее отрезок  не будет виден под углом .

Таким образом, геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под данным углом, будет дуга окружности. А если точнее, то, в силу симметрии, две дуги окружности (это ГМТ еще называют «уши Чебурашки») (рис. 29).

Рис. 29. ГМТ «уши Чебурашки»

Этот факт можно использовать, например, для расположения зрителей в зале – чтобы все имели одинаковый угол обзора сцены.

---

 

Теорема косинусов

 

 

Рассмотрим еще один инструмент, который поможет нам находить неизвестные элементы треугольника. Мы уже оценили, насколько полезна теорема Пифагора для вычисления длины неизвестной стороны прямоугольного треугольника. Но хочется иметь аналогичный инструмент для произвольного треугольника.

 

Вот треугольник  с острым углом . Обозначим длины его сторон малыми буквами . Из вершины  проведем высоту  (см. рис. 30) (для определенности будем считать, что она лежит внутри треугольника, случай тупоугольного треугольника разберите самостоятельно – все рассуждения там аналогичны).

Рис. 30. Рассматриваемый треугольник  с проведенной высотой

Тогда, из определения:

По теореме Пифагора:

Уберем на чертеже лишние построения и посмотрим на полученное тождество:

Рис. 31. Рассматриваемый треугольник

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.

Это утверждение носит название теоремы косинусов. По виду она очень похожа на теорему Пифагора для прямоугольных треугольников. На самом деле, теорема косинусов – это и есть обобщенная теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Действительно, воспользуемся теоремой косинусов для прямоугольных треугольников:

Но, как мы знаем, , поэтому получаем теорему Пифагора:

Теорема Пифагора – частный случай теоремы косинусов для прямоугольных треугольников.

Можно ли тогда теорему Пифагора доказывать, используя теорему косинусов? Нет. Ведь при доказательстве теоремы косинусов мы использовали теорему Пифагора. Получится замкнутый круг: мы доказали  через , а  через .

 

Заключение

Теоремы синусов и косинусов – удобные инструменты для решения задач: для нахождения недостающих элементов в треугольниках. С их помощью можно находить неизвестные стороны и углы треугольников. На ближайших уроках мы обязательно потренируемся это делать.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Геометрия, 8 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал cleverstudents.ru (Источник)

2. Интернет-портал calc.ru (Источник)

3. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Упростить выражение: 

2. Каким является треугольник со сторонами  – остроугольным, тупоугольным или прямоугольным?

3. Найти биссектрисы треугольника, если одна из его сторон равна , а прилежащие к этой стороне углы  и .