Математика

 Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике тригонометрические функции используются для вычисления сторон и острых углов треугольника.

 

 

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinα = противолежащий катет : гипотенуза

sinα = a:c

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

cosα = прилежащий катет : гипотенуза

cosα = b:c

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

tgα = противолежащий катет : прилежащий катет

tgα = a:b

Тангенс угла равен отношению синуса угла к косинусу угла.

Доказательство: $\mathit{sin\alpha }:\mathit{cos\alpha }=\frac{a}{c}:\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\mathit{tg\alpha }$.

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны, тангенсы этих углов равны.

Докажем справедливость равенства ${\mathit{sin}}^2\alpha +{\mathit{cos}}^2\alpha =1$.

${\mathit{sin}}^2\alpha +{\mathit{cos}}^2\alpha ={\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}$

По теореме Пифагора $c^2=a^2+b^2$, значит, у полученной дроби равны числитель и знаменатель – такая дробь равна 1.

Равенство ${\mathit{sin}}^2\alpha +{\mathit{cos}}^2\alpha =1$ называется основным тригонометрическим тождеством.

Как выбрать правильную функцию при решении задачи?

Если используются только катеты, применяется tg.

Если используется гипотенуза (дана или надо вычислить), то применяются sin или cos.

Если используется противолежащий катет (дан или надо вычислить), то применяется sin.

Если используется прилежащий катет, то применяется cos.

Если в треугольнике даны оба острых угла, лучше на рисунке отметить только один угол, чтобы однозначно понять, где прилежащий и где противолежащий катеты.

Значения тригонометрических функций (которые нужно знать наизусть):

	30°	45°	60°
sinα	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cosα	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tgα	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

Величины остальных углов можно найти в таблице или приблизительно вычислить с помощью калькулятора.

Пример. В прямоугольном треугольнике с прямым углом B известно, что АВ = 6 см, ∠А = 60°. Найти АС.

Искомый отрезок — гипотенуза; дан угол и прилежащий катет, поэтому будем использовать cos.

$\mathit{cosA}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\mathit{cos}60°=\frac{1}{2}=\frac{6}{\mathit{AC}}$, следовательно, АС = 12 см.