Математика

 

 

Тема: Подобные треугольники

 

Урок: Повторение темы «Подобные треугольники». Решение задач

 

1. Определение подобных треугольников

 

 

На этом уроке мы повторим тему «Подобные треугольники».

 

Для начала вспомним определение подобных треугольников.

Определение

Треугольники  и  называются подобными треугольниками (), если у них все углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны (см. Рис. 1).

Рис. 1

; .

При этом коэффициент  называется коэффициентом подобия.

Если обозначить: , можно получить следующие соотношения между сторонами подобных треугольников: .

Кроме того, площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: .

 

2. Признаки подобия треугольников

 

 

Для того чтобы определить, являются ли треугольники подобными, не прибегая к определению, существуют признаки подобия треугольников.

 

Всего существует три признака подобия. Перечислим их:

1.      По равенству двух углов: если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны:.

2.      По пропорциональности двух сторон и равенству угла между ними: если две стороны одного треугольника пропорциональны соответственно двум сторонам другого треугольника, а углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны: .

3.      По пропорциональности трёх сторон: если три стороны одного треугольника пропорциональны соответственно трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны: .

С помощью подобия треугольников доказывается свойство средней линии треугольника. Напомним определение средней линии треугольника.

 

3. Свойства средней линии и медиан треугольника

 

 

Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

 

Свойство средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

С подобием связано доказательство ещё одного важного факта – свойства медиан треугольника (которое иногда ещё называют теоремой Архимеда): медианы треугольника пересекаются в одной точке, причём точкой пересечения делятся в отношении , считая от вершины треугольника (см. Рис. 3).

Рис. 3

;

 

4. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

 

 

Полезными свойства подобия оказываются и в прямоугольных треугольниках. Мы выяснили, что высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, которые подобны также исходному треугольнику. Из этого следует сразу несколько важных фактов, связывающих пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике (см. Рис. 4).

 

Рис. 4

.

1.       (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

2.       (катет равен среднему геометрическому гипотенузы и своей проекции на неё).

3.       (высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу).

 

5. Решение примера

 

 

Рассмотрим задачу, в которой используются полученные в теме «Подобные треугольники» знания.

 

Задача

Дан прямоугольный треугольник . В нём проведена высота . . Найти высоту треугольника, катеты, а также синус угла  и тангенс угла .

Дано: ,  – высота, .

Найти:  – ?

Решение

Рис. 5

Воспользуемся соотношениями между пропорциональными отрезками в прямоугольном треугольнике:

.

.

.

Найдём синус угла , воспользовавшись определением синуса острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к гипотенузе:

.

Найдём тангенс угла , воспользовавшись определением тангенса острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему: .

Ответ: .

На этом уроке мы повторили тему «Подобные треугольники». На следующем уроке мы начнём изучение новой темы: «Окружность».

 

Список литературы

1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник).
2. 6yket.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. № 144(б-г), 145(б-з), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
2. В прямоугольном треугольнике : , . Найти расстояние от середины катета  до гипотенузы.
3. Докажите, что отношение соответствующих медиан подобных треугольников равно коэффициенту подобия. 
4. Высота дерева равна , а длина тени человека, рост которого , равна . Найдите длину тени дерева.
5. Высота параллелограмма, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону в отношении . В каком отношении эта высота делит диагональ параллелограмма?