Математика

Рациональные дроби и их свойства. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Целые выражения – это выражения, составленных из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Так, целыми являются выражения 7а²b, m³+n³, $\frac{a+5}{8}$ и т.д.

В отличие от них выражения $\frac{4a-b}{2a+1}$, $\frac{x+y}{x^2-3\mathrm{xy}+y^2}$, помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными. Такие выражения называют дробными выражениями.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны.

Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение $10+\frac{1}{a}$ не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл. Выражение $\frac{x}{x-y}$ имеет смысл при тех значениях х и у, когда x ≠ y.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Выражение вида $\frac{a}{b}$ называется, как известно, дробью.

Дробь, числитель и знаменатель которой – многочлены, называют рациональной дробью.

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

Пример 1. Найдем допустимые значения переменной в дроби $\frac{5}{a(a-9)}$.

Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение а(а - 9) = 0.

Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

Пример 2. При каком значении х значение дроби $\frac{{\left(x-2\right)}^2-25}{2x+6}$ равно нулю?

Дробь $\frac{a}{b}$ равна нулю тогда и только тогда, когда a = 0 и b ≠ 0.

Числитель дроби равен нулю при x = 7 и x= -3. Знаменатель данной дроби не равен нулю, если x ≠ -3. Значит, данная дробь равна нулю при x = 7.

Мы знаем, что для обыкновенных дробей выполняется следующее свойство: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. Иначе говоря, при любых натуральных значениях а, b и с верно paвенство $\frac{a}{b}=\frac{a\bullet c}{b\bullet c}$.

Докажем, что это равенство верно не только при натуральных, но и при любых других значениях а, b и с, при которых знаменатель отличен от нуля, т.е. при b ≠ 0 и с ≠ 0.

Пусть $\frac{a}{b}=m$. Тогда по определению частного $a=\mathrm{bm}$. Умножим обе части этого равенства на с:

$\mathrm{ac}=\left(\mathrm{bm}\right)c$

На основании сочетательного и переместительного свойств умножения имеем:

$\mathrm{ac}=\left(\mathrm{bc}\right)m$

Так как bс ≠ 0, то по определению частного

$\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{bc}}=m$

Значит,

$\frac{a}{b}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{bc}}$.

Мы показали, что для любых числовых значений переменных b и с, где b ≠ 0 и с ≠ 0, верно равенство $\frac{a}{b}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{bc}}$.

Равенство сохраняет силу и в том случае, когда под буквами а, b и с понимают многочлены, причем b и с — ненулевые многочлены, т. е. многочлены, не равные тождественно нулю.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Например, $\frac{x+2}{x-3}=\frac{(x+2)(x+y)}{(x-3)(x+y)}$.

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменных. Такие равенства будем называть тождествами. Ранее тождествами мы называли равенства, верные при всех значениях переменных. Теперь мы расширяем понятие тождества.

Определение. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Основное свойство рациональной дроби позволяет выполнять приведение дроби к новому знаменателю и сокращение дробей. Приведем примеры.

Пример 3. Приведем дробь $\frac{2x}{7y}$ к знаменателю 35у³.

Так как 35у³ = 7у·5у², то, умножив числитель и знаменатель дроби $\frac{2x}{7y}$ на 5у², получим:

$\frac{2x}{7y}=\frac{2x·5y^2}{7y\bullet 5y^2}=\frac{10x{y}^2}{35y^3}$

Множитель 5у² называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби $\frac{2x}{7y}$.

Пример 4. Приведем дробь $\frac{5}{2y-x}$ к знаменателю $x-2y$.

Для этого числитель и знаменатель данной дроби умножим на -1:

$\frac{5}{2y-x}=\frac{5·(-1)}{(2y-x)·(-1)}=\frac{-5}{x-2y}$

Дробь $\frac{-5}{x-2y}$ можно заменить тождественно равным выражением $-\frac{5}{x-2y}$, поставив знак "минус" перед дробью и заменив знак в числителе.

Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному.