Математика

113. Сумма и разность дробей. Произведение и частное дробей. Возведение дроби в степень.

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складывают их числители, а знаменатель оставляют прежним. Например:

$\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{2+3}{7}=\frac{5}{7}$.

Таким же образом складывают любые рациональные дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$,

где а, b и с — многочлены, причем с — ненулевой многочлен.

Это равенство выражает правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Вычитание рациональных дробей выполняется аналогично сложению:

$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

Пример 1. Сложим дроби:

$\frac{3a-7b}{15\mathrm{ab}}+\frac{2a+2b}{15\mathrm{ab}}=\frac{3a-7b+2a+2b}{15\mathrm{ab}}=\frac{5a-5b}{15\mathrm{ab}}=\frac{5(a-b)}{15\mathrm{ab}}=\frac{a-b}{3\mathrm{ab}}$.

Пример 2. Вычтем дроби:

$\frac{a^2+9}{5a-15}-\frac{6a}{5a-15}=\frac{a^2+9-6a}{5a-15}=\frac{{\left(a-3\right)}^2}{5\left(a-3\right)}=\frac{a-3}{5}$.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями сводится к сложению и вычитанию рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого данные дроби приводят к общему знаменателю.

Пример 3. Сложим дроби $\frac{x}{4a^{3}b}+\frac{5}{6a{b}^4}$.

Знаменатели дробей представляют собой одночлены. Наиболее простым общим знаменателем является одночлен 12а³b⁴. Коэффициент этого одночлена равен наименьшему общему кратному коэффициентов знаменателей дробей, а каждая переменная взята с наибольшим показателем, с которым она входит в знаменатели дробей. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны 3b³и 2a².

Имеем

$\frac{x}{4a^{3}b}+\frac{5}{6a{b}^4}=\frac{x\bullet 3b^3+5\bullet 2a^2}{12a^3{b}^4}=\frac{3b^{3}x+10a^2}{12a^3{b}^4}$.

Пример 4. Преобразуем разность $\frac{a+3}{a^2+\mathrm{ab}}-\frac{b-3}{\mathrm{ab}+b^2}$.

Чтобы найти общий знаменатель, разложим знаменатель каждой дроби на множители:

$\frac{a+3}{a^2+\mathrm{ab}}-\frac{b-3}{\mathrm{ab}+b^2}=\frac{a+3}{a(a+b)}-\frac{b-3}{b(a+b)}$.

Простейшим общим знаменателем служит выражение $\mathrm{ab}(a+b)$. Дополнительные множители к числителям и знаменателям этих дробей соответственно равны b и а.

Имеем:

$\frac{a+3}{a(a+b)}-\frac{b-3}{b\left(a+b\right)}=\frac{\left(a+3\right)b-\left(b-3\right)a}{\mathrm{ab}\left(a+b\right)}=\frac{\mathrm{ab}+3b-\mathrm{ab}+3a}{\mathrm{ab}\left(a+b\right)}=\frac{3\left(a+b\right)}{\mathrm{ab}\left(a+b\right)}=\frac{3}{\mathrm{ab}}$.

Преобразование рационального выражения, которое является суммой или разностью целого выражения и дроби, сводится к преобразованию суммы или разности дробей.

Пример 5. Упростим выражение $a-1-\frac{a^2-3}{a+1}$

Представим выражение $a-1$ в виде дроби со знаменателем 1 и выполним вычитание дробей:

$a-1-\frac{a^2-3}{a+1}=\frac{a-1}{1}-\frac{a^2-3}{a+1}=\frac{\left(a-1\right)\left(a+1\right)-\left(a^2-3\right)}{a+1}=\frac{a^2-1-a^2+3}{a+1}=\frac{2}{a+1}$.

Умножение и деление дробей. Возведение дроби в степень.

При умножении обыкновенных дробей перемножают отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записывают в числителе, а второе — в знаменателе дроби. Например: $\frac{2}{3}\bullet \frac{4}{5}=\frac{2\bullet 4}{3\bullet 5}=\frac{8}{15}$.

Таким же образом перемножают любые рациональные дроби:

$\frac{a}{b}\bullet \frac{c}{d}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{bd}}$,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b и d — ненулевые многочлены. Это равенство выражает правило умножения рациональных дробей:

чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем дроби.

Пример 6. Умножим дроби $\frac{a^3}{4b^2}\bullet \frac{6b}{a^2}$.

Воспользуемся правилом умножения дробей:

$\frac{a^3}{4b^2}\bullet \frac{6b}{a^2}=\frac{a^3\bullet 6b}{4b^2\bullet a^2}=\frac{6a^{3}b}{4a^2{b}^2}=\frac{3a}{2b}$.

Правило умножения дробей распространяется на произведение трех и более рациональных дробей. Например:

$\frac{a}{b}\bullet \frac{c}{d}\bullet \frac{m}{n}=\frac{\mathrm{ac}}{\mathrm{bd}}\bullet \frac{m}{n}=\frac{\mathrm{acm}}{\mathrm{bdn}}$.

Выясним теперь, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Рассмотрим выражение ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n$, являющейся n-й степенью рациональной дроби $\frac{a}{b}$ и докажем, что

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.

По определению степени имеем

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a}{b}·\frac{a}{b}\bullet \dots \bullet \frac{a}{b}$ (n раз).

Применяя правило умножения рациональных дробей и определение степени, получим

$\frac{a}{b}·\frac{a}{b}\bullet \dots \bullet \frac{a}{b}=\frac{a\bullet a\bullet \dots \bullet a}{b\bullet b\bullet \dots \bullet b}=\frac{a^n}{b^n}$.

Следовательно, ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$.

Из доказанного тождества следует правило возведения рациональной дроби в степень:

чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй — в знаменателе дроби.

Пример 7. Возведем дробь $\frac{2a^2}{b^4}$ в третью степень.

Воспользуемся правилом возведения в степень:

${\left(\frac{2a^2}{b^4}\right)}^3=\frac{{\left(2a^2\right)}^3}{{\left(b^4\right)}^3}=\frac{8a^6}{b^{12}}$.

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Например: $\frac{3}{8}:\frac{2}{5}=\frac{3}{8}\bullet \frac{5}{2}=\frac{15}{16}$.

Так же поступают при делении любых рациональных дробей:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\bullet \frac{d}{c}=\frac{\mathrm{ad}}{\mathrm{bc}}$,

где а, b, с и d — некоторые многочлены, причем b, c и d — ненулевые многочлены.

Это равенство выражает правило деления рациональных дробей:

чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Пример 8. Разделим дроби $\frac{7a^2}{b^3}:\frac{14a}{b}$.

Воспользуемся правилом деления дробей:

$\frac{7a^2}{b^3}:\frac{14a}{b}=\frac{7a^2}{b^3}·\frac{b}{14a}=\frac{7a^{2}b}{14a{b}^3}=\frac{a}{2b^2}$.