Математика

115. Рациональные числа

Мы уже знаем, что числа, которые употребляются при счете предметов, называются натуральными. Натуральные числа, противоположные им и ноль называются целыми. Но кроме целых чисел есть дробные. Целые и дробные числа вместе составляют рациональные числа.

Отрицательные числа были введены в использование позднее, чем дроби. Долгое время эти числа считали «несуществующими» или «ложными». Положительные и отрицательные числа служат для описания изменений величин. Если величина растёт, то говорят, что её изменение положительно, а если она убывает, то изменение называют отрицательным.

Множество натуральных чисел обозначается буквой N (от латинского naturalis – естественный, природный).

Множество целых чисел обозначается Z (от немецкого Zahl – число).

Множество рациональных чисел обозначается буквой Q (от французского quotient – отношение).

Если мы хотим написать, что некое число принадлежит множеству натуральных, целых или рациональных чисел, то используем значок принадлежности. Например, 2∈N или 0∈Z. Если мы хотим написать, что некое число не принадлежит некоему множеству, то пишем так: -2∉N.

Множества можно изображать на рисунках с помощью кругов. Такой способ изображения множеств придумал математик Леонард Эйлер. Поэтому изображения множеств получили название круги Эйлера.

Если мы хотим обозначить, что некое множество целиком входит в другое (то есть является его подмножеством), то используем знак принадлежности без средней перегородки – ⊂.

N⊂Z⊂Q (множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, а множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел).

Введем понятие разности множеств. Разностью множеств А и В является такое множество, элементы которого принадлежат А, но не принадлежат В. Например, разностью множеств целых и натуральных чисел будет множество, состоящее из целых отрицательных чисел и нуля.

Всякое рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{\mathit{m}}{\mathit{n}}$, где m – целое число, а n – натуральное. Одно и то же рациональное число можно представить в таком виде разными способами. Например, $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{10}{15}$ или $5=\frac{5}{1}=\frac{15}{3}$.

Среди дробей, с помощью которых записывается данное рациональное число, всегда можно указать дробь с наименьшим знаменателем, которая является несократимой. Для целых чисел такая дробь имеет знаменатель 1.

Рассмотрим вопрос о представлении рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Представим дробь $\frac{1}{4}$ в виде десятичной дроби. Для этого разделим ее числитель на знаменатель. Получим 0,25.

Попробуем представить в виде десятичной дроби дробь $\frac{8}{37}$. Получим 0,216216216…

Сколько бы мы не продолжали деление, мы не получим в остатке ноль. В частном же будет повторяющаяся последовательность чисел после запятой. Такая дробь называется бесконечной десятичной периодической дробью. Повторяющаяся последовательность записывается в скобках: 0,(216) и читается это так: «нуль целых, двести шестнадцать в периоде».

357,025555... = 357,02(5)

триста пятьдесят семь целых, 2 сотых и 5 в периоде.

Любое рациональное число можно представить в виде конечной десятичной дроби либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

Если знаменатель дроби можно разложить на множители, которые представляют собой степени чисел 2 или 5, то такую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.