Математика

114. Функция у = k/x и ее график

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида y=kx, где х – независимая переменная, а k – любое число, k≠0.

Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше мы купим тетрадей, тем меньше денег у нас останется.

Графиком функции является гипербола.

График функции при k>0:

 

 

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения X и Y положительные, а вторая часть – в III четверти, где значения X и Y отрицательные.

y(x)>0 при x∈(0;+∞)

y(x)<0 при x∈(-∞;0)

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция убывает. Следовательно, функция y=kx, где k>0, убывает.

График функции при k<0:

 

 

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится во 2 четверти, где значения X отрицательные, а значения Y положительные, а вторая часть – в 4 четверти, где значения X положительные, а значения Y отрицательные.

y(x)<0 при x∈(0;+∞)

y(x)>0 при x∈(-∞;0)

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. Следовательно, функция y=kx, где k<0, возрастает.

Свойства функции:

1. Область определения функции:

   D(f) = (-∞;0)∪(0;+∞).

2. Область значения функции:

   E(f) = (-∞;0)∪(0;+∞).

3. Наибольшего и наименьшего значения функция y=kx не имеет.

4. y=kx нечетная функция, то есть график симметричен относительно начала координат (0;0).

5. Функция не ограничена.

6. Функция не пересекает координатные оси (OX и OY).

Если добавить константу а (где a любое число) в знаменатель в качестве слагаемого к X, то произойдет перемещение гиперболы по оси OX (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет y=kx+a.

Если перед а стоит знак "+" (y=kx+a), a>0, то график функции передвигается по оси OX влево.

Для примера возьмем уравнение y=1x+2:

 

 

Гипербола смещена на 2 влево.

Если перед а стоит знак "–" (y=kx-a), a>0, то график функции передвигается по оси OX вправо.

Для примера возьмем уравнение y=1x-2:

 

 

Гипербола смещена на 2 вправо.

Если добавить константу b (где b любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси OY (вместе с горизонтальной асимптотой). В таком случае уравнением функции станет y=kx+b.

Если перед b стоит знак "+" (y=kx+b), b>0, то график функции передвигается по оси OY вверх.

Для примера возьмем уравнение y=1x+2:

 

 

Гипербола смещена на 2 вверх.

Если перед b стоит знак "-" (y=kx-b), b>0, то график функции передвигается по оси OY вниз.

Для примера возьмем уравнение y=1x-2

 

 

Гипербола смещена на 2 единицы вниз.

От коэффициента k зависит, как будут вести себя ветви гиперболы относительно начала координат.

Например, сравним y=10x и y=1x:

 

 

Мы видим, что график функции y=1x значительно уже графика функции y=10x.

Чем больше коэффициент k, тем больше расстояние между ветвями гиперболы.