Математика

 

 

Тема: Числовые функции

 

Урок: Нахождение области определения и области значений числовой функции

 

 

1. Повторение основных определений

 

 

Понятие функции одно из важнейших в математике. Именно функции описывают реальную жизнь: полет ракеты или  самолета, движение поезда, изменение прибыли предприятия и т.д. Свойства функции связывают воедино, казалось бы, разрозненные методы решения уравнений, неравенств, систем.

 

Функцией называется закон , по которому каждому элементу  ставится в соответствие единственный элемент .

Множество всех допустимых значений аргумента  называется областью определения функции и обозначается .

Область определения функции – важнейшая характеристика функции. Если при задании функции множество   не задано, то область определения считается естественной, т.е. совпадающей с областью определения выражения .

Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют  областью значений функции и обозначается .

Смысл выражения «область значений функции , , есть множество » состоит в следующем:

1. Любому элементу  соответствует единственный элемент ;

2. Любое значение  достигается хотя бы при одном значении .

 

2. Связь между основными характеристиками функции

 

 

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

 

Функцию характеризуют область определения, область значений и график.

Опишем связь между этими основными характеристиками функции.

 

 – проекция графика функции  на ось ОХ является областью определения функции. ,

Любая вертикальная прямая  , , пересекает график функции только в одной точке. Это следует из определения функции.

Рис. 1. Геометрический смысл области определения функции.

 

 – проекция графика функции  на ось ОY является областью значений функции.     

.

Горизонтальная прямая , , пересекает график функции хотя бы в одной точке. Значение функции  достигается при .

 

3. Обсуждение определения функции

 

 

По определению функции должно выполняться условие единственности: каждому элементу  ставится в соответствие единственный элемент .

 

Почему выдвигается такое требование? Поясним это на примере графика пути в школу.

По оси абсцисс задано время, по оси ординат – расстояние . График иллюстрирует путь в школу , пребывание в школе  и обратный путь домой . В каждый момент времени t ученик находился на фиксированном расстоянии S от дома (в данный момент времени невозможно одновременно быть на расстоянии 1 км и 3 км от дома). Но на расстоянии  от дома ученик был и в момент времени ,  и в момент времени  .

Вывод: каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции и каждому значению функции соответствует хотя бы одно значение аргумента.

 

 

4. Решение задачи на понимание основных понятий

 

 

Задана функция , . Найдите множество всех значений параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы одно решение.

 

Из смысла понятий  следует, что

1. Если значение функции равно  и , то это значение достигается хотя бы при одном значении ;

2. Если значение функции равно  и , то это значение не достигается ни при одном значении .

Ответ: .

 

5. Решение задач на нахождение области определения и области значений функции

 

 

1. Дана функция . Найдите область определения и область значений заданной функции.

 

Решение. Поскольку выражение  имеет смысл при всех значениях переменной , то .

Т.к. , то . См. Рис. 4.

Ответ: .

 

1. Дана функция . Найдите множество всех значений параметра ,  

при каждом из которых уравнение  имеет

а. Хотя бы одно решение;

б. Одно решение;

в. Два различных решения.

Решение.

Задача решается графически  (см. Рис. 5) и учитывается условие:   .

Ответ:а.  или ;

б. ;

в. .

 

3. Дана функция . Найдите область определения и область значений заданной функции.

Решение. См. Рис. 6.

Рассмотрим функцию . Условие существования квадратного корня: . Следовательно,

 .

С другой стороны, , откуда следует, что .

Ответ:

 

 

6. Итог урока

 

 

На уроке были подробно рассмотрены определения области определения и области значений функции и решены соответствующие задачи.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 4, 9, 12 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.127 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).