Математика

Тема урока, введение

 

В этом уроке будут даны строгие определения четных и нечетных функций, рассмотрены их свойства, решены некоторые задачи.

 

 

Основные определения

 

 

Определение 1: Функция  называется четной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство:

 

Определение 2: Функция  называется нечетной, если для любого значения x из множества X выполняется равенство:

Примеры:

1.  четная, т.к.

2.  нечетная, т.к.

3.  четная,

4. нечетная, .

Дадим развернутое определение четной функции.

Определение 3: Функцию  называют четной, если выполнены два условия для всех

1. Область определения симметрична относительно нуля, т.е.

2.

Из определения вытекает важное свойство четной функции:

График четной функции симметричен относительно оси y (Рис. 1).

Дадим развернутое определение нечетной функции.

Определение 4: Функцию  называют нечетной, если выполнены два условия для всех

1. Область определения симметрична относительно нуля,  т.е.

2.

Из определения нечетной функции вытекает свойство: График нечетной функции симметричен относительно т. (0; 0) (Рис. 2).

Если функция  не является ни четной, ни нечетной, то ее называют функцией общего вида.

 

Примеры

 

 

Примеры:

 

Пример 1. Определите вид функции

 четная функция, ее график симметричен относительно оси y.

Пример 2. Определите вид функции

В точке  функция не существует, а в точке  существует. Область определения несимметрична относительно нуля, значит функция общего вида.

Пример 3.Определите вид функции

Обе точки выколотые, график и область определения симметричны относительно начала координат, функция четная.

Пример 4. Определите вид функции

рафик и область определения симметричны относительно начала координат, функция нечетная.

Пример 5. Определите вид функции

В точке с абсциссой 2 функция не существует, в точке с абсциссой -2 существует. Область определения несимметрична относительно нуля, это функция общего вида.

Пример 6. Определите вид функции

Область определения симметрична относительно нуля, функция нечетная.

 

Примеры на исследование функции

 

 

Рассмотрим примеры на свойства четных и нечетных функций.

 

Пример 7: Исследовать на четность функцию

Решение:

Первый способ:

 

 

,функция четная.

Второй  способ:

Возведем в квадрат обе части равенства. Тогда вместо уравнения получим систему:

 

Второе уравнение полученной системы – уравнение окружности с центром в т.(0; 0) радиусом 4. Но т.к.  , графиком уравнения является верхняя полуокружность (Рис. 9).

График симметричен относительно оси y, поэтому функция четная.

Ответ: Функция четная.

Пример 8. Известно, что функция  четная и убывает при  Определите характер монотонности функции при

Решение:

Нам известно, что функция убывает на луче . Раз она определена на луче  и является четной, то она определена и на луче

График четной функции симметричен относительно оси y, т.е. функция возрастает на луче

В качестве примера изобразим график функции  (Рис. 10).

Ответ: Функция возрастает при

Пример 9. Дана функция , где

Задайте  так, чтобы функция  являлась

а. четной

б. нечетной.

Решение:

Если функция четная, ее график симметричен относительно оси y, т.е.  (Рис. 11).

Если функция нечетная, ее график симметричен относительно т. (0; 0), т.е.  (Рис. 12).

 

Заключение, вывод

 

 

Мы рассмотрели определения и свойства четных и нечетных функций, решили некоторые типовые задачи На следующем уроке мы продолжим изучение свойств четных и нечетных функций.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 275 – 278.