Математика

 

 

Тема: Числовые функции

 

 Урок: Свойства квадратичной функции 

 

1. Вступление

 

 

На уроке рассматриваются свойства квадратичной функции вида , график квадратичной функции и решаются задачи на чтение графиков и задачи с параметром. 

 

 

2. Напоминание

 

 

Определение. Квадратичной функцией называется функция вида

 

, где .

График – парабола (см. Рис. 1) с вершиной в точке , где  .

 

Рис. 1. График функции , где

. Функция непрерывна на всей .

 

3. Свойства функции

 

 

  в случае .

 

Пусть .

Свойства:

1. ;

2. ;

3.  убывает при ;  возрастает при ;

4.  - не существует;

5. Непрерывна;

6. Выпукла вниз.

 

4. Свойства функции

 

 

  в случае .

 

Пусть .

Свойства (см. Рис. 2):

 

Рис. 2. График функции   в случае .

1. ;

2. ;

3.  возрастает при ;  убывает при ;

4.  - не существует;

5. Непрерывна;

6. Выпукла вверх.

 

5. Задача 1 на нахождение пределов изменения конкретной квадратичной функции

 

 

Найдите пределы изменения функции, прочитайте график.

 

 

а.

Ответ:  ;  убывает при ; возрастает при .

	б.

Ответ: ;  убывает при  ;  возрастает при .

 

6. Задача 2 на нахождение пределов изменения конкретной квадратичной функции

 

 

Найдите пределы изменения функции, прочитайте график.

 

	а.

Ответ: ;  возрастает при ;  убывает при .

 

б.

Ответ: ;   возрастает при ; убывает при .

 

7. Задача 1 с параметром

 

 

Найдите число корней уравнения  с параметром , где , .

 

Ответ (см. Рис. 3):

 

Рис. 3. График функции , рассеченный прямыми  , где  и .

1. Корней нет при ;

2. Уравнение имеет

- один корень при ;

- два корня при .

 

8. Задача 2 с параметром

 

 

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где , , имеет хотя бы один корень (см. Рис. 4).

 

 

 

 

 

 Ответ: .

 

9. Задача на построение и чтение графика функции

 

 

Постройте и прочитайте график функции

 

 

,

Ответ: (см. Рис. 5)

 

Рис. 5. График функции

1. Возрастает при ;

2. Убывает при .

 

10. Задача 3 с параметром

 

 

Найдите число корней уравнения , где .

 

Ответ: уравнение имеет (см. Рис. 6)

 

Рис. 6. График функции  ,

рассеченный прямыми  , где  и .

1. Один корень при ;

2. Два корня при ;

3. Три корня при .

 

11. Итог урока

 

 

На уроке были рассмотрены свойства квадратичной функции и с их помощью были решены некоторые типовые задачи. На следующем уроке будут изучаться свойства четности и нечетности функций.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс (учебник для средней школы).-М.: Просвещение, 1992.

2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков, К.И. Алгебра для 9 класса с углубл. изуч. математики.-М.: Мнемозина, 2003.

3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г Дополнительные главы к школьному учебнику алгебры 9 класса.-М.: Просвещение, 2002.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики).-М.: Просвещение, 1996.

5. Мордкович А.Г.  Алгебра 9  класс, учебник  для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

6. Мордкович А.Г. , Мишутина  Т.Н.,  Тульчинская Е.Е. Алгебра 9  класс, задачник для общеобразовательных учреждекний. – М.: Мнемозина, 2002.

7. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983.  

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Портал Естественных Наук (Источник).

3. Exponenta.ru Образовательный математический сайт (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 78, 80, 81 (Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 класс).

2. № 8.15 (Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов).