Математика

 

 

Тема: Числовые функции

 

Урок: Задачи на степенные функции

 

 

1. Тема урока, введение

 

 

Мы вспомним свойства степенных функций с целым отрицательным показателем и используем их при решении задач на степенную функцию.

 

 

2. Напоминание: график и свойства функции

 

 

Функция

 

Основные свойства:

1.

2.

3. Функция четная.

4. Две характерные фиксированные точки для всех кривых:

5. Асимптоты: прямые

6. Если  то y возрастает,

Если  то y убывает,

 

3. Напоминание: график и свойства функции

 

 

Функция

 

Основные свойства:

1.

2.

3. Функция нечетная.

4. Две фиксированные характерные точки для всех кривых:

5. Асимптоты: прямые

6. Если  то y убывает,

Если  то y убывает,

 

4. Решение задач

 

 

Рассмотрим типовые задачи:

 

1. Какая из точек – А или В – принадлежит графику функции  если

Решение:

т. А:

т. А принадлежит графику.

т. В:

т. В не принадлежит графику.

Ответ: т. А.

2. Какая из точек А, В, С принадлежит графику функции  если

 

Решение:

т. А:

т. В:

т. С:

Ответ: т. В принадлежит графику.

3. Постройте график функции  и прочтите его.

Решение:

Построим график функции  (Рис. 5). Его асимптоты – прямые  и .

 

Чтобы получить график функции  необходимо график  сдвинуть на 1 вверх по оси yи на 1 единицу влево по оси x (Рис. 6).

Асимптоты полученного графика – прямые  и , характерные точки 

Если  то y возрастает,

Если  то y убывает,

4. Найдите все значения параметра m, при каждом из которых уравнение

 имеет хотя бы одно решение.

Решение:

Нам необходимо построить график функции , пересечь его семейством прямых , найти точки пересечения и записать ответ (Рис. 7).

Ответ:

5. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение   

1. Не имеет решений.

2. Имеет только отрицательные решения.

3. Имеет два корня разных знаков.

Решение:

Ответ:

1.

2.

3.

6. Постройте график функции  и прочитайте его.

Решение:

Построим график функции  (Рис. 8).

Теперь чтобы получить график функции  сдвинем кривую  на 2 вправо вдоль оси x, и на 3 вверх по оси y (Рис. 9).

Прямые  и являются асимптотами.

Характерные точки –

Если  то y убывает,

Если  то y убывает,

7. Найти все значения параметра m, при каждом из которых уравнение

 имеет решения

1. На луче

2. На луче

Решение:

Изобразим график функции  и пересечем его семейством прямых  (Рис. 10).

Ответ:

1.

2.

8. Решите графически неравенство

Решение:

Построим в одной системе координат график функции  и график функции  (Рис. 11).

Графики пересекаются в точке

 

Чтобы выполнялось неравенство  кривая  должна располагаться выше прямой

Ответ:

9. Даны две функции,  и , где

Докажите, что

Доказательство:

 

 

 

Тождество доказано.

 

5. Вывод, заключение

 

 

Мы вспомнили свойства функции с целым показателем, решили задачи с их использованием. На следующем уроке мы рассмотрим графики функций и их преобразования.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

 

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Раздел College.ru по математике (Источник).

2. Интернет-проект «Задачи» (Источник).

3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 337, 338, 346.