Математика

 

 

Тема:Числовые функции

 

Урок: Степенная функция её свойства и график

 

1. Введение

 

 

Мы рассмотрим степенную функцию с нечетным отрицательным показателем, изучим её свойства и график.

 

 

2. График и свойства функции

 

 

Рассмотрим функцию, опираясь на известный нам график  (рис. 1).

 

Функция не определена в нуле.

Изобразим график, используя таблицу.

	1	2
	1		8

Прочтем полученный график.

Если  то yубывает,

Если то yубывает,

Свойства функции

2. Нечетная,

3. Убывает на луче  и на луче

4. Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

5. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

6. Непрерывна при и при .

8. Выпукла вверх при и выпукла вниз при

Функция имеет две асимптоты – оси x и y.

1. Пусть

Если

Если

2. Пусть

Если

Если

Рассмотрим интервалы знакопостоянства функции  (рис. 2).

не имеет корней.

Рассмотрим сопутствующую задачу на область значений функции.

1. Найти все значения m, при каждом из которых уравнение имеет решение.

Решение:

Ответ:

 

3. График и свойства функции

 

 

Рассмотрим степенную функцию с нечетным отрицательным показателем в общем виде(рис. 4).

 

Свойства:

2. Функция нечетная

3. Убывает на луче  и на луче

4. Не ограничена ни сверху, ни снизу.

5. Не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

6. Непрерывна при и при .

8. Выпукла вверх при и выпукла вниз при

Рассмотрим асимптоты кривых  (рис. 4).

Все кривые проходят через точки  и .

Если

Если

Т.е. ось x – горизонтальная асимптота.

Если

Если

Т.е. ось y – вертикальная асимптота.

Рассмотрим интервалы знакопостоянства для функций (рис. 5).

Если то .

Если 0 то .

не имеет решений.

 

Например:

 

Рассмотрим взаимное расположение графиков функций  (рис. 6).

	1		2
	1	8
	1	32

 

4. Примеры

 

 

Решим еще несколько задач.

 

1. Найти область значений функции

Решение:

Функциямонотонно убывает при (рис. ).

Если то  yубывает,

Ответ:

Если , то yубывает,

Ответ: .

2. Решите графически неравенство.

Решение:

Построим графики функций для в одних координатных осях (рис. 9).

Функция монотонно возрастает, функция монотонно убывает, при они имеют единственную точку пересечения.

Ответ:

 

5. Заключение

 

 

Мы рассмотрели степенную функцию с нечетным отрицательным показателем. На следующем уроке мы продолжим изучение функции с отрицательным показателем и рассмотрим типовые задачи.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.:ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Открытая математика (Источник).

2. Задачи (Источник).

3. Решу ЕГЭ (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 332(б, г), 333(б, в), 336.