Математика

Тема 9.

Последовательности.

Давай выпишем натуральные четные числа 2, 4, 6 ,8, ….

Очевидно, что следующее число равно 10, далее 12, на десятом месте будет 20, на сотом – 200 и т.д. То есть для любого натурального числа n можем указать соответствующее ему положительное четное число, равное 2n Рассмотрим еще одну последовательность, выпишем положительные дроби, числитель которых на единицу меньше знаменателя:

$\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5}\dots$

То есть для каждого натурального числа n можно указать соответствующую ему дробь: $\frac{n}{n+1}$. Значит, на шестом месте будет дробь $\frac{6}{7}$, на двадцатом - $\frac{20}{21},$ на сотом - $\frac{100}{101}$ и т.д.

Числа, которые образуют последовательность называют членами данной последовательности.

Число, которое стоит на первом месте – первый член, на втором – второй член и т.д.

Члены последовательности обозначают a₁, a₂, a₃ …

Член, номер которого n, обозначают a и называют n-ым членом последовательности.

Саму последовательность обозначают: $\left(a_n\right)$ или $\left(c_n\right)$.

Последовательности бывают конечными и бесконечными.

Все предыдущие последовательности, которые мы рассмотрели – бесконечные, а, например, последовательность нечетных двузначных чисел: 11, 13, 15, … 99 – это конечная последовательность.

Любую последовательность можно задать числами или формулой. Например, положительных четных чисел можно задать формулой a_n = 2n, а последовательность положительных нечетных чисел можно задать a_n = 2n + 1.

Рассмотрим последовательность, которая задана формулой c_n = 5n - n². Найдем первые пять членов этой последовательности:

$c_1=5\bullet 1-1^2=4$

$c_2=5\bullet 2-2^2=6$

$c_3=5\bullet 3-3^2=6$

$c_4=5\bullet 4-4^2=4$

$c_5=5\bullet 5-5^2=0$

4; 6; 6; 4; 0; …

Пусть следующая последовательность задана формулой: x_n = (-1)ⁿ ∙ 5, тогда все члены последовательности с четными номерами будут равны 5, а с нечетными номерами будут равны (-5). То есть последовательность будет выглядеть так -5; 5; -5; 5;…

Рассмотрим еще одну последовательность, первый член которой равен 3, а каждый следующий член равен квадрату предыдущего, то есть

$a_1=3,a_{n+1}=a_n^2$

Найдем несколько членов этой последовательности:

$a_2=3^2=9$

$a_3=9^2=81$

$a_4={81}^2=6561$

Пусть следующая последовательность задана формулой $b_n=n^2-n$. Найдем пятый и одиннадцатый члены этой последовательности. Получим:

$b_5=5^2-5=25-5=20$

$b_{11}={11}^2-11=121-11=110$.

Видно, что мы можем найти любой член последовательности по заданной формуле.

Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько), называют рекуррентной.

Выпишем последовательность натуральных чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2 и запишем рекуррентную формулу этой последовательности. Получим:

5; 8; 11; 14;…

То есть $a_n=3n+2$

Пусть задана последовательность $c_n=n^2+2n$. Число 168 является членом данной последовательности. Необходимо найти номер данного члена?

Итак, $c_n=168=n^2+2n$.

Решим уравнение:

$n^2+2n=168$

$n^2+2n-168=0$

$n_1=-14,n_2=12$

Так как n – это порядковый номер члена последовательности, то он может быть только натуральным числом, значит, n = 12. Следовательно, число 168 – это двенадцатый член нашей последовательности.

$a_{12}=168$.