Математика

Тема 10.

Определение арифметической прогрессии: формула $\mathit{n}$-го члена прогрессии.

Сегодня познакомимся с последовательностью, которая получается по определенному закону (правилу).

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 2.

7, 12, 17, 22,…

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 5. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Итак, арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность $\left(a_n\right)$ – арифметическая прогрессия, если для любого натурального $n$ выполняется условие $a_{n+1}=a_n+d$, где d – некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна $d$, то есть при любом натуральном $n$ верно равенство:$a_{n+1}-a_n=d$. Это число $d$ называют разностью арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию достаточно указать ее первый член и разность.

Например, если

$$

$a_1=1$ и $\mathit{d}=2$, то получим арифметическую прогрессию: $1,3,5,7,\dots$

$a_1=-5$ и $\mathit{d}=3$, то получим арифметическую прогрессию: $-5,-2,1,4,7,\dots$

$a_1=-3$ и $\mathit{d}=-2$, то получим арифметическую прогрессию: $-3,-5,-7,\dots$

$a_1=4$ и $\mathit{d}=0$, то получим арифметическую прогрессию: $4,4,4,4,\dots$

Итак, зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т.д. Но если надо будет найти сотый, или двухсотый члены, то этот способ не очень удобен.

Давай попробуем вывести формулу для нахождения любого члена арифметической прогрессии. Итак, по определению арифметической прогрессии:

$a_2=a_1+d$

$a_3=a_2+d=\left(a_1+d\right)+d=a_1+2d$

$a_4=a_3+d=\left(a_1+2d\right)+d=a_1+3d$

$a_5=a_4+d=\left(a_1+3d\right)+d=a_1+4d$

Что же мы видим? Что любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле: $a_n=a_1+d\left(n-1\right)$ – это и есть формула n - го члена арифметической прогрессии.

Рассмотрим примеры.

1) Последовательность $\left(a_n\right)$ – арифметическая прогрессия, в которой $a_1=2,3$ и $d=0,36$. Найти 101-й член этой прогрессии.

Воспользуемся формулой: $a_n=a_1+d\left(n-1\right)$

$a_{101}=2,3+0,36\left(100-1\right)=2,3+0,36\bullet 100=2,3+36=38,3$

Ответ: 38,3

2) Выясним являются ли числа -31,5 и 16 членами арифметической прогрессии (a_n): 27, 4; 24,3; 21,2; …

В данной арифметической прогрессии

$a_1=27,4$

$d=a_2-a_1=24,3-27,4=-3,1$

Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d\left(n-1\right)$

$a_n=27,4-3,1\left(n-1\right)$, то есть

$a_n=27,4-3,1n+3,1$

$a_n=30,5-3,1n$

Числа -31,5 и 16 будут членами арифметической прогрессии, если существует такое натуральное число n, при котором значение выражения 30,5 - 3,1n = -31,5 (1)

30,5 - 3,1n = 16 (2)

Решим эти уравнения. Из (1) находим, что n = 20, из (2) $n=4\frac{21}{31}$.

А, значит, число -31,5 является двадцатым членом арифметической прогрессии. Число 16 не является членом арифметической прогрессии.

Отсюда понятно, что любую арифметическую прогрессию можно задать формулой a_n = kn + b, где k и b некоторые числа.

Верно и обратное, если последовательность (a_n), заданная формулой a_n = kn + b, где k и b некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Рассмотрим еще один пример.

Найти 25-й член и n-й член арифметической прогрессии: -2; -0,5; 1; 2,5; 4;…

Итак, a₁ = -2; d = 2,5 - 1 = 1,5.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d\left(n-1\right)$

$a_{25}=-2+1,5\left(25-1\right)=-2+1,5\bullet 24=34$

$a_n=-2+1,5\left(n-1\right)=-2+1,5n-1,5=1,5n-3,5.$

Отметим важное свойство арифметической прогрессии.

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то есть своих соседей.

Например, дана арифметическая прогрессия: a_n: … ; 11; x; 27;…

$x=\frac{11+27}{2}=19$

Итак, в арифметической прогрессии

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$.

Итак, сегодня мы познакомились с арифметической прогрессией, ее свойством, а так же вывели формулу n-го члена арифметической прогрессии. А в следующий раз мы выведем формулу нахождения суммы первых n-членов арифметической прогрессии.