Математика

Тела вращения

 

Одним из первых величайших изобретений человечества был гончарный круг. С его помощью стало возможным в большом количестве создавать посуду и другие изделия из керамики.

 

Поскольку гончарный круг во время работы вращается, то в результате его работы получаются изделия особой формы – они симметричны относительно вертикальной оси (см. рис. 1).

Рис. 1. Гончарные изделия симметричны относительно вертикальной оси

Такие тела, что вполне логично, называют телами вращения, ведь их можно получить, вращая плоскую фигуру вокруг некоторой оси.

Известный нам цилиндр можно получить, вращая вокруг вертикальной оси прямоугольник (см. рис. 2).

Рис. 2. Цилиндр получается вращением вокруг вертикальной оси прямоугольника

Конус можно получить, вращая вокруг вертикальной оси равнобедренный (или прямоугольный) треугольник (см. рис. 3).

Рис. 3. Конус получается вращением вокруг вертикальной оси равнобедренного или прямоугольного треугольника

Шар можно получить, вращая вокруг вертикальной оси круг (см. рис. 4).

Рис. 4. Шар получается вращением вокруг вертикальной оси круга

 

Отличие тел вращения от многогранников

 

 

Поскольку объекты, имеющие форму тел вращения, встречаются довольно часто (в строительстве, архитектуре и вообще в быту), мы будем подробно изучать свойства этих тел. В частности, научимся вычислять характеристики их элементов, площадь поверхности и объем таких тел.

 

Главным отличием тел вращения от многогранников является отсутствие вершин, ребер или граней, т. е. поверхность тел вращения не образована пересечением нескольких плоскостей (см. рис. 5). Именно это различие означает «гладкую» форму тел вращения и «угловатую» форму многогранников. Это, конечно, не строгие математические термины, но они помогают нам легко, «на глаз», различать такие тела.

Рис. 5. Тела вращения отличаются от многогранников отсутствием вершин, ребер или граней

При этом многогранники нам помогут получить и доказать различные свойства тел вращения. Вспомните, что мы приближали окружность правильными многоугольниками (см. рис. 6).

Рис. 6. Приближение окружности правильными многоугольниками

Точно так же можно поступить и с телами вращения – например, призма, в основании которой лежит правильный многоугольник с большим количеством вершин, будет очень похожа на цилиндр, пирамида – на конус (см. рис. 7).

Рис. 7. Приближение призмы (основание – правильный многоугольник) и пирамиды

С шаром чуть сложнее, но его тоже можно приближать различными многогранниками (см. рис. 8).

Рис. 8. Приближение шара

Так, футбольный мяч обычно представляет собой многогранник, гранями которого являются пяти- и шестиугольники (см. рис. 9). И этот многогранник настолько хорошо приближает сферу, что позволяет футболистам играть футбол и даже использовать поговорку: «Мяч круглый».

Рис. 9. Футбольный мяч представляет собой многогранник, гранями которого являются пяти- и шестиугольники

---

 

Правильные многогранники

Может возникнуть вопрос – почему с шаром не сделать так же, как с кругом. Почему не взять правильный многогранник и не увеличивать в нем количество граней до тех пор, пока не получится тело, очень похожее на шар?

Оказывается, проблема в том, что правильных многогранников не так много. Если существуют правильные многоугольники с любым количеством вершин, то правильных многогранников существует всего  видов. Посмотрим, почему так получается.

Пусть правильный многогранник имеет  граней, каждая из которых представляет собой правильный n-угольник. И пусть в каждой вершине сходится  ребер, а в многограннике всего  вершин и  ребер.

Мы можем сказать, что ,  (в каждой вершине сходится не меньше  ребер).

Т. к. каждая грань содержит  ребер, то:

( появляется, т. к. каждое ребро принадлежит двум граням (см. рис. 10), и мы его посчитали  раза).

Рис. 10. Каждое ребро принадлежит двум граням

Аналогично, т. к. в каждой вершине сходится  ребер, то:

( появляется, т. к. каждое ребро соединяет  вершины (см. рис. 11) и мы опять его посчитали  раза).

Рис. 11. Каждое ребро соединяет  вершины

Вспомним теорему Эйлера для многогранников:

Подставим полученные равенства:

Т. к. правая часть должна быть положительной, то левая часть тоже положительная:

Или:

Если , то:

Значит, либо , либо  должно быть равно  или .

Пусть , тогда:

Откуда:

Возможные варианты:

1. Если :

Откуда:

Это тетраэдр (см. рис. 12).

Рис. 12. Тетраэдр

2. Если , :

Откуда:

Это октаэдр (см. рис. 13).

Рис. 13. Октаэдр

3. Пусть , :

Откуда:

Это икосаэдр (см. рис. 14).

Рис. 14. Икосаэдр

4. Пусть :

Откуда:

Т. е. единственный возможный вариант: :

Откуда:

Это куб (см. рис. 15).

Рис. 15. Куб

Осталось рассмотреть два случая: . Поскольку в неравенстве  и  симметричны, то все случаи будут рассматриваться аналогично. Случаи  и  мы уже рассмотрели.

5. Единственный новый случай: :

Откуда:

Это додекаэдр (см. рис. 16).

Рис. 16. Додекаэдр

Мы рассмотрели все возможные варианты, других правильных многогранников нет (см. рис. 17).

Рис. 17. Правильные многогранники

Поэтому провести аналогию с приближением окружности правильными многоугольниками для правильных многогранников не получится. Это не значит, что шар нельзя приблизить многогранниками – можно, мы уже приводили пример футбольного мяча. Но эти многогранники не будут правильными.

---

 

Цилиндр

 

 

Возьмем прямоугольник  и будем его вращать вокруг стороны  (см. рис. 18).

 

Рис. 18. Получение цилиндра вращением прямоугольника  вокруг стороны

Сверху и снизу у нас получатся два круга. Их мы будем называть верхним и нижним основаниями цилиндра (см. рис. 19).

Рис. 19. Верхнее и нижнее основания цилиндра

Радиусы этих кругов одинаковы и равны длинам отрезков  и . Эти радиусы оснований также будем называть и радиусом самого цилиндра (см. рис. 20).

Рис. 20. Радиус цилиндра

Кроме основания, у нас получилась поверхность, созданная вращением отрезка . Она называется боковой поверхностью цилиндра или просто цилиндрической поверхностью (см. рис. 21).

Рис. 21. Боковая поверхность цилиндра (цилиндрическая поверхность)

Боковая поверхность состоит из вертикальных отрезков, параллельных друг другу. Они называются образующими цилиндра (см. рис. 22). Любая образующая является высотой цилиндра.

Рис. 22. Образующая цилиндра

---

 

Какие бывают цилиндры

На самом деле, мы дали определение не произвольного цилиндра, а одного из видов – прямого кругового (см. рис. 23). Название вполне объяснимое: «прямой», так как образующие перпендикулярны основаниям, «круговой», так как в основании лежат круги.

Рис. 23. Прямой круговой цилиндр

Более общее определение цилиндра такое. Если взять две одинаковые кривые и разместить их в параллельных плоскостях, то вместе с семейством параллельных образующих, которые соединяют точки этих кривых, они образуют цилиндр (см. рис. 24). Само семейство параллельных образующих называется цилиндрической поверхностью (см. рис. 25).

Рис. 24. Образование цилиндра

Рис. 25. Цилиндрическая поверхность

Понятно, что цилиндр может быть прямым (см. рис. 26) или наклонным (см. рис. 27) (в зависимости от угла наклона образующих к плоскости основания).

Рис. 26. Прямой цилиндр

Рис. 27. Наклонный цилиндр

Также вид цилиндра может определяться кривой, которая лежит в основаниях. Например, эллиптический (см. рис. 28). При таком определении призма тоже будет частным случаем цилиндра (см. рис. 29).

Рис. 28. Эллиптический цилиндр

Рис. 29. Призма как частный случай цилиндра

Но все же в подавляющем большинстве случаев под цилиндром мы будем подразумевать именно прямой круговой цилиндр.

---

 

Формулы цилиндра

 

 

Как мы уже говорили, цилиндр можно приближать правильной призмой, увеличивая количество вершин в основании последней.

 

Вспомним, что объем любой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Тогда объем цилиндра как предельного случая призмы тоже можно вычислить по этой формуле:

Т. к. основание цилиндра – круг, то площадь основания находится по формуле площади круга:

А объем цилиндра тогда вычисляется по формуле:

Площадь боковой поверхности цилиндра тоже легко находится. Развернем боковую поверхность – получим прямоугольник (см. рис. 30).

Рис. 30. Развертка цилиндрической поверхности

Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра, а длина равна длине окружности основания. Таким образом, площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:

 

Конус

 

 

Можно провести аналогию с приближением цилиндра призмой для конуса: приближать его правильной пирамидой.Но конус также является фигурой вращения.Чтобы его получить, рассмотрим прямоугольный треугольник  и начнем его вращать вокруг катета  (см. рис. 31).

 

Рис. 31. Получение конуса вращением прямоугольного треугольника  вокруг катета

Катет  опишет круг – основание конуса – и будет, соответственно, радиусом конуса (рис. 32).

Рис. 32. Катет  является радиусом конуса

А при вращении гипотенузы  образуется боковая поверхность конуса, другое название – коническая поверхность (см. рис. 33). Отрезки, из которых состоит коническая поверхность, как и в случае цилиндра, называются образующими.

Рис. 33. Боковая поверхность конуса (коническая поверхность)

Вершина  – это вершина конуса,  – ось конуса, которая является и высотой (см. рис. 34).

Рис. 34. Вершина и ось (высота) конуса

---

 

Какие бывают конусы

И снова, как и в ситуации с цилиндром, мы дали определение одному из видов конуса – прямому круговому конусу (см. рис. 35).

Рис. 35. Прямой круговой конус

Более общее определение такое. Рассмотрим точку в пространстве и кривую. Соединим выбранную точку со всеми точками этой кривой (см. рис. 36). Семейство этих образующих – коническая поверхность (см. рис. 37). Вместе с частью плоскости, которую ограничивает кривая, коническая поверхность образует конус (см. рис. 38).

Рис. 36. Образование конуса

Рис. 37. Коническая поверхность

Рис. 38. Коническая поверхность образует конус вместе с частью плоскости, которую ограничивает кривая

Понятно, что конус может быть прямым (см. рис. 39) (если у основания есть центр симметрии и вершина конуса проецируется в этот центр симметрии), а может быть наклонным (см. рис. 40).

Рис. 39. Прямой конус

Рис. 40. Наклонный конус

Также ясно, что, в зависимости от кривой в основании, конус может быть круговым, эллиптическим (см. рис. 41) и т. д. Более того, при таком определении даже пирамида является частным случаем конуса (см. рис. 42).

Рис. 41. Эллиптический конус

Рис. 42. Пирамида как частный случай конуса

Но в подавляющем большинстве задач мы будем встречаться именно с прямым круговым конусом.

---

 

Формулы конуса

 

 

Объем любой пирамиды вычисляется по формуле:

 

Эту же формулу можно использовать для вычисления объема конуса как предельного случая правильной пирамиды.

Поскольку площадь основания – это площадь круга, то объем конуса вычисляется по формуле:

Развертка конической поверхности представляет собой не прямоугольник, как у цилиндра, а круговой сектор (см. рис. 43).

Рис. 43. Развертка конической поверхности

Вспомним, как вычисляется площадь сектора. Пусть есть сектор радиуса  длиной дуги  (см. рис. 44).

Рис. 44. Сектор радиуса  длиной дуги

Длина всей окружности равна:

Площадь сектора во столько раз меньше площади целого круга, во сколько длина дуги меньше длины всей окружности:

Рассмотрим конус с образующей  и радиусом основания  (см. рис. 45).

Рис. 45. Конус с образующей  и радиусом основания

Теперь для вычисления боковой поверхности конуса разрежем ее по одной из образующих и развернем. Получим круговой сектор (см. рис. 46).

Рис. 46. Развертка конуса с образующей  и радиусом основания

Радиусом сектора является образующая конуса , а длина дуги равна длине окружности основания конуса:

Найдем площадь сектора:

Это и есть формула боковой поверхности конуса:

Посмотрим на еще один предельный случай. Понятно, что у конуса образующая  всегда больше радиуса основания . Если ее уменьшать и таким образом приближать к , то высота конуса будет стремиться к нулю. Тогда сама коническая поверхность будет стремиться к кругу, лежащему в основании (см. рис. 47).

Рис. 47. Приближение образующей конуса  к радиусу основания

Тогда неудивительно, что формула боковой поверхности конуса при стремлении  к  превращается в формулу площади круга, лежащего в основании конуса:

 

Шар

 

 

Переходим к рассмотрению третьего тела вращения – шара (см. рис. 48). Шар во многом является трехмерным аналогом круга. Они имеют идентичные определения, которые мы рассмотрим чуть позже.

 

Рис. 48. Шар

Кроме этого, границы шара и круга имеют отдельные названия. Это достаточно необычно для фигур. Например, граница квадрата так и будет называться – граница или периметр квадрата. Граница же круга называются окружностью, а граница шара называется сферой (см. рис. 49).

Рис. 49. Сфера и окружность

Можно представлять дело ровно наоборот: не окружность – это граница круга, а круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью. Точно так же не сфера – граница шара, а шар – часть пространства, ограниченная сферой.

На самом деле для всех четырех фигур (см. рис. 50) существуют свои строгие независимые определения:

1. Окружность – множество точек плоскости, удаленных от данной точки на данное расстояние.
2. Круг – множество точек плоскости, удаленных от данной точки не более чем на данное расстояние.
3. Сфера – множество точек пространства, удаленных от данной точки на данное расстояние.
4. Шар –  множество точек пространства, удаленных от данной точки не более чем на данное расстояние.

Рис. 50. Слева направо: окружность, круг, сфера, шар

Почему шар называется фигурой вращения, тоже понятно. Его можно получить вращением круга (или даже достаточно полукруга) вокруг своего диаметра (см. рис. 51).

Рис. 51. Получение шара вращение круга вокруг своего диаметра

Расстояние от любой точки сферы до центра называется радиусом сферы и шара (см. рис. 52).

Рис. 52. Радиус сферы и шара

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром. Понятно, что, как и в случае круга, диаметр равен двум радиусам.

 

Объем шара

 

 

Вопрос объема и площади поверхности шара (т. е. площади сферы) решается немного сложнее, чем для цилиндра и конуса. Начнем с объема.

 

Попробуем найти объем шара радиуса . Для удобства оставим только половину шара (см. рис. 53), и если нам удастся найти ее объем, то умножим потом результат на два.

Рис. 53. Половина шара радиуса

Положим полушар на плоскость  и рядом поставим цилиндр, высота и радиус которого равны , т. е. высоты у обоих тел одинаковые (см. рис. 54).

Рис. 54. Полушар и цилиндр с равными высотами  и радиусами  на плоскости

Помните, что более простая фигура ставится рядом с более сложной, чтобы применить принцип Кавальери для сравнения их объемов (Многогранники. Виды многогранников. Объём).

Основания у обоих тел – это равные круги радиуса . Но если мы пересечем фигуры плоскостью  (см. рис. 55), то равенство площадей пропадает.

Рис. 55. Пересечение полушара и цилиндра плоскостью

Явно сечение у цилиндра больше, чему у половины шара. Найдем площадь сечения половины шара. Пусть расстояние между плоскостями равно  (см. рис. 56).

Рис. 56. Расстояние между плоскостями равно

Тогда радиус сечения мы найдем по теореме Пифагора:

Тогда площадь сечения  (см. рис. 57):

Рис. 57. Площадь сечения

При этом площадь сечения цилиндра равна:

Значит, чтобы площадь сечения цилиндра стала равна площади сечения половины шара, нужно вычесть из него величину , т. е. круг радиуса .

Внутри круга радиуса  построим круг радиуса . Площадь полученного кольца  (см. рис. 58):

Т. е. равна площади сечения половины шара.

Рис. 58. Кольцо

Осталось подобрать тело, у которого будут такие сечения. Нетрудно догадаться, что таким телом будет цилиндр, из которого вырезали перевернутый конус, основание которого совпадает с верхним основанием цилиндра (см. рис. 59).

Рис. 59. Цилиндр, из которого вырезали перевернутый конус, основание которого совпадает с верхним основанием цилиндра

Посмотрим на ситуацию еще раз. Два тела стоят на плоскости . Первое – половина шара радиуса . Второе – цилиндр радиуса  и высоты , в котором вырезана полость в виде перевернутого конуса. Радиус основания и высота конуса тоже равны .

Если провести плоскость  параллельно плоскости  на расстоянии , то мы получим два сечения – круг и кольцо, площади которых одинаковы и равны:

Но тогда, по принципу Кавальери, эти тела имеют равные объемы. Объем сконструированного нами тела равен разности объемов цилиндра и конуса:

Мы нашли объем половины шара. Осталось его умножить на два и получить объем шара:

 

Площадь поверхности шара

 

 

Попробуем теперь определить площадь поверхности шара (площадь сферы). Основная идея будет следующей. Если есть тонкая пленка, то объем такой пленки равен произведению ее площади на толщину:

 

Если так окажется, что мы знаем объем и толщину пленки, то можем найти ее площадь:

Рассмотрим теперь шар радиуса . Покрасим его слоем краски толщиной  (см. рис. 60). Радиус окрашенного шара равен .

Рис. 60. Шар радиуса  покрашен слоем краски толщиной

Объем слоя краски можно вычислить как разность объемов окрашенного и неокрашенного шаров:

Найдем площадь слоя краски – разделим объем на :

Если мы говорим о площади поверхности шара радиуса, то это соответствует нашей задаче с краской, толщина слоя которой . Тогда формула приобретает вид:

Это и есть формула площади поверхности шара (площади сферы):

 

Заключение

1. Цилиндр очень похож на призму и имеет такую же формулу для вычисления объема:

Развертка цилиндрической поверхности – это прямоугольник, ее площадь рассчитывается по формуле:

2. Конус очень похож на пирамиду и имеет такую же формулу для вычисления объема:

Развертка конической поверхности – это сектор, ее площадь рассчитывается по формуле:

где  – образующая конуса.

3. Объем шара рассчитывается по формуле:

Площадь его поверхности, т. е. сферы, рассчитывается по формуле:

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал yoclever.org (Источник)
3. Интернет-портал math4school.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Найти объем цилиндра, радиус которого равен , а высота равна радиусу.
2. Найти объем конуса, радиус основания которого равен , а высота вдвое больше радиуса основания.
3. Объемы двух шаров относятся как . Найти отношение площадей их поверхностей.