Математика

Произвольная призма

 

Задача 1. Доказать, что число ребер любой призмы делится на 3.

 

Доказательство.

Рассмотрим произвольную -угольную призму (см. рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче 1

Каждое основание – это -угольник, соответственно, у нас есть  ребер сверху и  снизу. Также у нас есть еще боковые ребра, их тоже  штук. Таким образом, всего у -угольной призмы  ребер, т. е. их количество делится на 3:

Доказано.

 

Построение сечения параллелепипеда

 

 

Задача 2. На трех ребрах параллелепипеда даны точки ,  и  (см. рис. 2). Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через эти точки.

 

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Сначала поговорим о том, что такое сечение. Если очень постараться, то палку колбасы можно считать цилиндром. Если разрезать ее, то получим срез. При разрезе параллельно плоскости основания – круг, при более привычном разрезе «наискосок» – овал (или, если использовать более строгий математический термин, эллипс) (см. рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к задаче 2

Вот этот срез и является сечением цилиндра соответствующей плоскостью. Естественно, сечение может быть не только у цилиндра, но и у других тел.

Построить сечение – найти все линии, по которым плоскость сечения пересекается с телом, и определить вид и границы фигуры, которая будет являться сечением. Чаще всего такие задачи мы будем решать для куба или параллелепипеда.

В данной задаче необходимо представить, как плоскость, проходящая через точки ,  и  разрезает параллелепипед, и изобразить полученный срез.

Т. к. точки  и  лежат на одной грани, то соединим их отрезком. По отрезку  будет разрезана эта грань. Аналогично построим отрезок  – это разрез задней грани (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2

Запоминаем: если две точки сечения лежат на одной грани – проводим через них отрезок и получаем линию сечения всей грани.

Точка  принадлежит не только левой грани, но и передней. По ней тоже пойдет разрез. Ближняя к нам и дальняя от нас грани параллельны. Следовательно, разрезы на них будут параллельны друг другу. Тогда проводим в ближней грани отрезок из точки . Он пересек нижнее ребро в точке  (см. рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче 2

Запоминаем: если есть сечение грани и точка на параллельной грани, то проводим через нее сечение параллельно имеющемуся. Т. е. у параллельных граней сечения всегда параллельны.

Аналогично в правом боковом ребре проводим отрезок через  параллельно . Получим отрезок  (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 2

Точки  и  лежат в одной плоскости, следовательно, их можно соединить. Полученный многоугольник и есть требуемое сечение (см. рис. 7).

Рис.7. Иллюстрация к задаче 2

Понятно, что если бы секущая плоскость была расположена иначе, то и сечение могло оказаться другое. Изменим положение точек, задающих секущую плоскость.

Точки  и  лежат на одной грани – соединяем. Аналогично  и  тоже на одной грани – соединяем (см. рис. 8). Мы получили сечения двух граней. На параллельных гранях точек у нас нет. Мы не можем применить ни одно из двух рассмотренных правил.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 2

Но нам необязательно иметь точку на самой грани, достаточно, чтобы она была в плоскости грани. Попробуем получить точку сечения в плоскости нижней грани.

Продолжим отрезок  и нижнее ребро левой грани до пересечения. Они пересекутся, т. к. лежат в одной плоскости – плоскости левой грани. Точка  лежит в плоскости нижней грани. При этом она принадлежит и плоскости сечения (см. рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 2

Через точку  мы можем провести сечение плоскости нижнего основания параллельно сечению верхнего основания, т. е. отрезку . Получим сечение нижнего основания и две новые точки  и  (см. рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче 2

Точки  и  лежат в одной плоскости – соединяем (см. рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче 2

Через точку  в правой грани проводим сечение параллельно (см. рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче 2

Точки  и  лежат в одной грани – соединяем (см. рис. 13).

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 2

Ломаная замкнулась, значит, сечение построено (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 2

Метод построения, который мы использовали, называется методом следов.

 

Нахождение диагоналей куба и прямоугольного параллелепипеда

 

 

Задача 3. Ребро куба равно . Найти диагональ куба.

 

Решение

Изобразим куб. Все его ребра равны . Построим диагональ нижней грани  и диагональ самого куба  (см. рис. 15).

Рис. 15. Иллюстрация к задаче 3

Диагональ нижней грани найдем по теореме Пифагора:

Диагональ куба  является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами  и  (см. рис. 16).

Рис. 16. Иллюстрация к задаче 3

Найдем ее тоже по теореме Пифагора:

Ответ:.

Расширим эту задачу и решим ее для произвольного прямоугольного параллелепипеда.

 

Задача 4. Ребра прямоугольного параллелепипеда равны ,  и . Найти длину диагонали (см. рис. 17).

Рис. 17. Иллюстрация к задаче 4

Решение

Понятно, что решается она аналогично задаче с кубом. Диагональ нижней грани по теореме Пифагора:

Диагональ параллелепипеда снова по теореме Пифагора (см. рис. 18):

Эта формула называется пространственной теоремой Пифагора.

Рис. 18. Иллюстрация к задаче 4

Понятно, что полученная формула для длины диагонали куба является частным случаем этой формулы.

Ответ: .

 

Задача 5. Найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с ребрами ,  и  (см. рис. 19).

Рис. 19. Иллюстрация к задаче 5

Решение

Мы не будем теперь последовательно применять два раза теорему Пифагора, а применим сразу пространственную теорему:

Ответ: .

 

Объем правильной шестиугольной призмы

 

 

Задача 6. Найти объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны  (см. рис. 20).

 

Рис. 20. Иллюстрация к задаче 6

Решение

Все призмы и цилиндры имеют общую формулу объема:

Высота призмы нам уже известна – это длина бокового ребра (см. рис. 21):

Рис. 21. Иллюстрация к задаче 6

Осталось найти площадь основания, т. е. площадь правильного шестиугольника со стороной . Вспомним, что правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 6

Найдем площадь одного треугольника как половину произведения сторон на синус угла между ними. После этого умножим результат на . Итак, площадь основания:

Осталось найти объем:

Ответ: .

 

Правильная пирамида

 

 

Задача 7. Доказать, что все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

 

Доказательство

Апофема – это высота боковой грани правильной пирамиды (см. рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 7

Докажем утверждение из условия. В основании правильной пирамиды лежит правильный -угольник, а высота пирамиды опущена в центр этого -угольника (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 7

Все отрезки , где  – радиус описанной окружности основания (см. рис. 25).

Рис. 25. Иллюстрация к задаче 7

Тогда все прямоугольные треугольники  равны по двум катетам.

Тогда все их гипотенузы равны:

Т. е. боковые ребра пирамиды равны.

Но тогда все боковые грани пирамиды равны по третьему признаку равенству треугольников:

В самом деле:

1. основания  равны (как стороны правильного многоугольника);
2. боковые  (как боковые ребра правильной стороны).

У равных треугольников равны и высоты, проведенные к соответственным сторонам, т. е. апофемы в самом деле равны.

Доказано.

Термин «апофема» используется только для правильной пирамиды. В случае остальных пирамид мы будем говорить о высоте боковой грани и указывать конкретную грань. Это объясняется тем, что в произвольной пирамиде эти высоты будут разные.

 

Задача 8. Найти объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания  и высотой  (см. рис. 26).

Рис. 26. Иллюстрация к задаче 8

Решение

Объем произвольной пирамиды и конуса вычисляются по общей формуле:

Площадь основания, т. е. площадь правильного шестиугольника со стороной  мы уже нашли раньше:

Тогда объем пирамиды равен:

Ответ: .

 

Цилиндр

 

 

Задача 9. В цилиндр вписана правильная -угольная призма (см. рис. 27). Найти отношение их объемов.

 

Рис. 27. Иллюстрация к задаче 9

Решение

«В цилиндр вписана призма» значит, что основания призмы (многоугольники) вписаны в окружности оснований цилиндра, а высоты призмы и цилиндра совпадают (см. рис. 28).

Рис. 28. Иллюстрация к задаче 9

Как мы уже говорили, все призмы и цилиндры имеют общую формулу объема:

Обозначим объем цилиндра через , а объем призмы через . Нам необходимо найти отношение:

Т. к. высоты фигур одинаковы, то отношение объемов определяется только отношением площадей оснований.

Таким образом, нам остается решить планиметрическую задачу отношения площадей круга и вписанного в него правильного -угольника. Пусть радиус цилиндра, а значит, и радиус круга в его основании равен , тогда:

Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности,

следовательно (см. рис. 29):

Рис. 29. Иллюстрация к задаче 9

Найдем теперь их отношение:

Мы получили точный ответ. Но в такой ситуации всегда хочется понять, сколько это примерно. Посчитаем, подставив примерные значения с точностью до первого знака после запятой.

Таким образом, объем цилиндра примерно в  раза больше объем призмы (примерно на ).

Ответ: .

 

Задача 10. Сколько листовой жести пойдет на изготовление трубы длиной  м и диаметром  см, если на швы необходимо добавить  площади ее боковой поверхности (см. рис. 30)?

Рис. 30. Иллюстрация к задаче 10

Решение

Это совсем простая задача. Необходимо посчитать площадь боковой поверхности цилиндра и затем увеличить ее на .

Помним, что развертка цилиндра (трубы) – это прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая – длине окружности. Т. е. площадь боковой поверхности цилиндра рассчитывается по формуле:

Переведем единицы измерения в метры и подставим в формулу:

Осталось увеличить эту величину на  – для этого умножим боковую поверхность на . Тогда необходимое количество жести равно:

Ответ: .

 

Конус

 

 

Задача 11. Прямоугольный треугольник с катетами  и  вращается вокруг меньшего катета. Найти площади боковой и полной поверхностей, объем полученного конуса (см. рис. 31).

 

Рис. 31. Иллюстрация к задаче 11

Решение

Радиус полученного конуса , а высота . Образующую конуса несложно найти с помощью теоремы Пифагора:

Найдем площадь основания:

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

Сложим площади основания и боковой поверхности, получим площадь полной поверхности:

Найдем объем конуса:

Ответ: .

 

Шар

 

 

Задача 12. Диаметр Луны примерно в  раза меньше диаметра Земли. Найти отношение их объемов и площадей поверхности, считая их шарами.

 

Решение

Заменим условие отношения диаметров отношением радиусов:

Площадь сферы выражается формулой:

Найдем отношение площадей:

Площадь Земли примерно в  раз больше площади Луны.

Объем шара выражается формулой:

Найдем отношение объемов:

Ответ: .

Нам нужно рассмотреть два подобных тела – два шара. Самое интересное, что для такой задачи нет необходимости использовать формулы площади поверхности или объема.

Какова бы ни была форма двух тел, главное, чтобы они были подобны (см. рис. 32).

Рис. 32. Подобные тела

Тогда отношение площадей поверхности будет равно отношению квадратов линейных размеров:

А отношение объемов будет равно отношению кубов линейных размеров:

Таким образом, если увеличить все линейные размеры цилиндра или конуса (т. е. радиус основания и высоту) в  раз, то площадь поверхности увеличится в  раз, а объем – в .

Эти простые рассуждения дают простое объяснение, почему гигантские насекомые существуют только в фантастических фильмах, книгах или компьютерных играх, но не в реальной жизни.

В самом деле, если представить, что линейные размеры какого-нибудь насекомого или паука увеличить в  раз (длину, ширину и высоту):

Тогда площадь поверхности его тела увеличится в  раз:

А его объем (а, значит, и масса) увеличится в  раз:

Насекомые и паукообразные дышат через поверхность тела. Но мы видим, что соотношение массы к поверхности ухудшилось в  раз. Такое животное просто не сможет дышать.

Задача 13. Сколько кожи пойдет на покрытие мяча диаметром  см? На швы нужно добавить  площади поверхности мяча.

Решение

Найдем площадь поверхности мяча. Диаметр равен  м, следовательно, радиус равен  м:

Добавим  на швы – умножим на :

Ответ: .

 

Заключение

В  и  классах мы будем более подробно изучать стереометрию и научимся решать более сложные задачи с геометрическими телами.

 

Список литературы

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2017.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
2. Интернет-портал fxyz.ru (Источник)
3. Интернет-портал math4school.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Высота правильного тетраэдра равна . Найти его полную поверхность.
2. Центр верхнего основания куба с ребром, равным , соединен с серединами сторон нижнего основания, которые также соединены в последовательном порядке. Найти полную поверхность полученной пирамиды.
3. Конус и полушар имеют общее основание, радиус которого равен . Найти боковую поверхность конуса, если его объем равен объему шара.