Математика

Тема 19.

Размещения.

Пусть имеется 4 шара и 3 пустые ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В каждую ячейку можно поместить по одному шару из этого набора. Если мы поместим шар а в первую ячейку, шар b во вторую ячейку, а шар с в третью ячейку, то мы получим одну из возможных упорядоченных троек шаров: abc.

Выбирая по-разному шары для первой, второй и третьей ячеек, будем получать различные упорядоченные тройки шаров, например:

acb       bac      dcb

Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

Мы встретились со случаем, где нужно выбрать из n элементов любые k и расставить их на k мест.

Итак,

Размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов.

Размещения отличаются друг от друга как составом элементов, выбранных в комбинацию, так и их расположением.

Выведем формулу подсчёта числа размещений:

Как и для перестановок количество размещений можно найти по правилу умножения: на первое место ставим любой из n имеющихся элементов, на 2-ое – любой из (n-1) оставшихся элементов. Далее для каждого выбора первых двух элементов на 3-е место можно поставить любой из оставшихся (n-2) элементов и т.д. пока не заполнятся все k мест, т.е.

$A_n^k=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\bullet \dots \bullet \left(n-\left(k-1\right)\right)$, то есть

$A_n^k=n\left(n-1\right)\left(n-2\right)\bullet \dots \bullet \left(n-k+1\right).$

Умножим и разделим правую часть этого равенства на (n-k)!

$A_n^k=\frac{n(n-1)(n-2)\bullet \dots \bullet \left(n-k+1\right)\left(n-k\right)!}{\left(n-k\right)!}$

Заменив (n-k)! произведением 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (n - k) и расположив множители в порядке возрастания, получим:

$A_n^k=\frac{1\bullet 2\bullet 3\bullet \dots \bullet \left(n-k\right)\bullet \left(n-k+1\right)\bullet \dots \bullet \left(n-1\right)n}{\left(n-k\right)!}$

В числителе дроби записано произведение всех натуральных чисел от 1 до n, значит это произведение равно n!, то есть

$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$

Рассмотрим несколько примеров:

Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр:

0, 2, 4, 6, 8 ?

Выбираем 4 цифры из 5 данных; порядок выбора имеет значение:

${А}_5^4=\frac{5!}{\left(5-4\right)!}=\frac{1\bullet 2\bullet 3\bullet 4\bullet 5}{1!}=120$чисел.

Но на первое место нельзя поставить ноль.

Используем метод исключения лишних элементов: если на первое место выбран ноль, то после этого выбираем еще на 3 места цифры из 4 оставшихся, получаем ${А}_4^3=\frac{4!}{\left(4-3\right)!}=1\bullet 2\bullet 3\bullet 4=24$ «нулевых» комбинаций, которые недопустимы.

Количество четырехзначных чисел, которые можно составить изданных 5 чисел, равно:

${А}_5^4-{А}_4^3=120-24=96$ чисел.

Рассмотрим еще один пример:

Из 30 участников собрания надо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Из 30 элементов выбираем 2, причем порядок выбора имеет значение. Количество способов выбора равно

${А}_{30}^2=\frac{30!}{\left(30-2\right)!}=\frac{30!}{28!}=29\bullet 30=870$

Ответ: 870 способов.

Рассмотрим еще одну задачу:

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

Итак, всего 10 цифр, значит

${А}_{10}^7=\frac{10!}{\left(10-7\right)!}=4\bullet 5\bullet 6\bullet 7\bullet 8\bullet 9\bullet 10=604800$ способов.

Те, которые начинаются с 0:

${А}_9^6=\frac{9!}{\left(9-6\right)!}=4\bullet 5\bullet 6\bullet 7\bullet 8\bullet 9=60480$

Значит, семизначных номеров, которые не начинаются с 0:

${А}_{10}^7-{А}_9^6=604800-60480=544320$ номеров.