Математика

Тема 21.

Вероятность. Вероятность равновозможных событий.

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями, которые могут произойти или не произойти. Эти закономерности изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Зарождение теории вероятности произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большой серии происходящих в одинаковых условиях испытаний со случайными исходами?

Рассмотрим пример.

Провели такие испытания. Бросали 100 раз игральный кубик, то есть небольшой куб, на гранях которого выбиты очки от одного до шести, и наблюдали, сколько раз на верхней грани кубика выпадет 6 очков. При бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть одно, два, три, четыре, пять или шесть очков. Каждое из этих шести событий, или как говорят шести исходов испытания, является случайным. Допустим, что данной серии экспериментов «шестерка» выпала 19 раз. Число 19, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события. А отношение частоты к общему числу испытаний, равное $\frac{19}{100}$, называют относительной частотой этого события.

Итак, пусть определенное испытание проводится многократно в одних и тех же условиях и при этом каждый раз фиксируется произошло событие или нет интересующее нас событие А. Обозначим буквой n общее число испытаний, а буквой m число испытаний, при которых произошло событие А. Число m называют частотой события А, а отношение $\frac{m}{n}$ – относительной частотой.

Титры: Относительной частотой случайного события в серии испытаний называется отношение числа испытаний, в которых это событие наступило, к числу всех испытаний.

Вообще если в длинной серии одинаковых экспериментов со случайными исходами значения относительных частот появления одного и того же события близки к некоторому определенному числу, то это число принимают за вероятность данного случайного события. Такой подход к вычислению вероятностей называют статистическим подходом.

События называют случайными, если заранее нельзя предугадать их результаты или исход. Несколько событий называют равновозможными, если в результате опыта ни одно из них не имеет большую возможность появления, чем другие. Пример: в урне лежат три шара – белый, синий и красный. Однократные изъятия шаров любого цвета – равновозможные события.

Вообще исходы в определенном опыте или наблюдении считают равновозможными, если шансы этих исходов одинаковы.

Исходы, при которых происходит некоторое событие, называются благоприятными исходами для этого события.

Итак, если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Обозначают вероятность буквой Р.

Такой подход вычисления вероятности называется классическим.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что купленный билет окажется выигрышным?

   Итак, вероятность равна:

   $Р=\frac{120}{1500}=0,08$

2. Ученик записал в тетради произвольное двузначное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?

   Итак, всего 90 двузначных чисел, а чисел, сумма цифр которых равна 6 всего 6, это числа 15, 24, 33, 42, 51 и 60. Следовательно, вероятность равна

   $Р=\frac{6}{90}=\frac{1}{15}$