Математика

Тема 22.

Сложение и умножение вероятностей.

Рассмотрим пример. Пусть в ящике находится двадцать кубиков: десять белых, четыре красных и шесть синих. Из ящика наугад вынимают один кубик. Рассмотрим такие события: Событие А – кубик оказался красным, Событие В – кубик оказался синим.

События А и В не могут произойти одновременно. Говорят, что события А и В являются несовместными.

Два события называют несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, то есть наступление одного из них исключает наступление другого.

Пусть событие С означает, что извлечённый из ящика кубик оказался не белым (то есть красным или синим).

Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями каждого из событий А и В. Найдем вероятности событий А, В и С. Для каждого извлечения кубика из ящика равновозможными являются двадцать исходов. Из них для события А благоприятными являются четыре исхода, для события В – шесть исходов, для события С – десять исходов. Отсюда, вероятность события А равна $\frac{4}{20}$(четырем двадцатым), вероятность события В – $\frac{6}{20}$ (шести двадцатым), вероятность события С – $\frac{10}{20}$ (десяти двадцатым).

Мы видим, что вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Итак, если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В.

Вообще

Если событие С означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или В, то вероятность события С равна сумме вероятностей события А и В.

Пример первый. Есть десять экзаменационных билетов. Ученик вытянул один из них. Какова вероятность того, что номером билета является простое число, или число большее шести.

Событие А — простое число: 4 благоприятных исхода из 10 возможных

Это числа 2,3,5 и 7

Событие B — число больше 8: 2 благоприятных исхода из 10 возможных

Это 9 и 10

Вероятность события А равна 0,4, а вероятность события В равна 0,2

Событие С наступает тогда, когда наступает одно из событий A или В, которые являются несовместными. Значит, вероятность события С равна сумме вероятностей событий А и В, то есть

Р(С)= Р(А)+ Р(В)=0,4+0,2=0,6

При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей противоположных событий.

Разъясним смысл этого понятия на примере бросания игрального кубика. Пусть событие А означает, что выпало шесть очков, Б – что выпало менее шести очков. Всякое наступление события А означает, что наступление Б не наступит. А наступление события Б означает, что событие А не наступит. В таких случаях говорят, что события А и Б – противоположные события.

Найдем вероятности событий А и Б. Для события А благоприятным является один исход из шести равновозможных исходов. Для события Б – пять исходов из шести. Значит, Вероятность события А равна $\frac{1}{6}$ (одной шестой), а вероятность события Б равна $\frac{5}{6}$(пяти шестым). Нетрудно заметить, что их сумма равна единице.

Итак, сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Приведем пример. Пусть в одной из двух коробок находится восемнадцать шаров, три из которых красные, а в другой двадцать четыре шара, четыре из которых красные. Из каждой коробки наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?

Рассмотрим такие события: А – из первой коробки вынимают красный шар, Б- из второй коробки вынимают красный шар.

Для события А благоприятными являются три исхода из восемнадцати, для события Б благоприятными являются четыре исхода из двадцати четырех. Значит, вероятность события А равна трем восемнадцатым, вероятность события Б равна четырем двадцати четвертым.

Очевидно, что события А и Б являются независимыми. Рассмотрим событие, которое состоит в совместном появлении событий А и Б. Обозначим его буквой С.

Благоприятными для события С являются те исходы, при которых оба вытянутых шара окажутся красными. Каждому из трех возможных извлечений красного шара из первой коробки соответствует четыре возможности извлечения красного шара из второй коробки, то есть число благоприятных исходов для события С, равно произведению три и четыре. Следовательно, вероятность извлечения двух шаров будет равна

Итак,

Если событие C означает совместное наступление событий A и B, то вероятность события C равна произведению вероятностей событий А и B.