Математика

Тема 5.

Построение графика квадратичной функции с помощью преобразований.

Рассмотрим частные случаи

y = ax² + n и y = a(x – m)².

В одной системе координат построим графики функций$\mathit{y}={\frac{1}{2}x}^2$ и $y={\frac{1}{2}x}^2+5$.

Составим таблицу значений функции: $y={\frac{1}{2}x}^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5

Чтобы получить таблицу значений для функции $y={\frac{1}{2}x}^2+5$ для тех же значений аргумента, необходимо к найденным значениям функции $y={\frac{1}{2}x}^2$ прибавить 5.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9,5	7	5,5	5	5,5	7	9,5

Получается, что каждую точку второго графика можно получить из некоторой точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вверх вдоль оси y.

График функции $y={\frac{1}{2}x}^2+5$ – парабола, полученная в результате сдвига вверх графика функции $y={\frac{1}{2}x}^2$.

График функции y = ax² + n – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax² с помощью параллельного переноса вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n < 0.

В одной системе координат построим графики функций $y={\frac{1}{2}x}^2$ и $y={\frac{1}{2}\left(x-5\right)}^2$. Составим таблицы значений для этих функций.

$y={\frac{1}{2}x}^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5

$y={\frac{1}{2}\left(x-5\right)}^2$

x	2	3	4	5	6	7	8
y	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5

Значит, если переместить каждую точку графика $\mathrm{}y={\frac{1}{2}x}^2$ вправо на 5 единиц, то получим соответствующую точку графика функции $\mathrm{}y={\frac{1}{2}\left(x-5\right)}^2$. Иначе говоря, каждую точку второго графика можно получить из соответствующей точки первого графика с помощью параллельного переноса на 5 единиц вправо вдоль оси x.

График функции $y={\frac{1}{2}\left(x-5\right)}^2$ – парабола, полученная $\mathit{y}={\frac{1}{2}\left(x-5\right)}^2$ в результате сдвига вправо графика функции $y={\frac{1}{2}x}^2$.

График функции y = a(x - m)² – парабола, которую можно получить из графика функции y = ax² с помощью параллельного переноса вдоль оси x на на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m < 0.

Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график функции y = a(x - m)². Например, график функции $y={\frac{1}{2}\left(x-5\right)}^2+3$ можно получить из графика функции $y={\frac{1}{2}x}^2$ с помощью двух параллельных переносов – сдвига вдоль оси x на 5 единиц вправо и вдоль оси y на 3 единицы вверх.

Таким образом, график функции y = a(x - m)² можно получить из параболы y = ax² с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль x на m единиц вправо, если m > 0 или на – m единиц влево, если m < 0, сдвига вдоль оси y на n единиц вверх, если n > 0 или на – n единиц вниз, если n < 0.

Заметим, что данные преобразования можно производить в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси x, а затем вдоль оси y или наоборот.

Преобразования, которые мы рассмотрели применимы для любых функций.

Рассмотрим пример.

Построим график функции y = x² - 4x двумя способами: с помощью преобразований, которые мы сегодня рассмотрели и с помощью таблицы значений функции.

Для того, чтобы построить график функции с помощью преобразований, необходимо его представить в виде y = a(x - m)². Для этого надо выделить полный квадрат. Итак, в нашу функцию y = x² - 4x добавим 4 и вычтем 4. Получим:

$y=x^2-4x+4-4={\left(x-2\right)}^2-4$

График данной функции можно получить из графика функции y = x² с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси x на 2 единицы вправо, и сдвига вдоль оси y на 4 единицы вниз.

Чтобы построить график функции вторым способом, составим таблицу ее значений. Возьми нечетное количество точек, например, пять и семь. В центре поставь координаты вершины параболы.

$x_{в}=\frac{-b}{2a}=\frac{-\left(-4\right)}{2\bullet 1}=2$

$y_{в}=2^2-4\bullet 2=-4$

График квадратичной функции симметричен относительно прямой, параллельной оси y, проходящей через вершину параболы. В данном случае прямая x = 2 является осью симметрии.

x	-1	0	1	2	3	4	5
y	5	0	-3	-4	-3	0	5