Математика

Тема 1: Функции и их свойства

Урок 4: Квадратичная функция: ее график и свойства

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

Тема 4.

Всем привет! Сегодня мы поговорим об одной из самых важных функций, о квадратичной функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать y = ax2 + bx + c, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Изучение квадратичной функции мы начнем с частного случая, а именно с функции y = ax2. Мы уже встречались с функцией y = x2, когда a = 1. Ее графиком является парабола.

Построим в одной системе координат

y = x2; y = 2x2; y = 3x2.

y = x2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1

0

1

4

9

y = 2x2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

18

8

2

0

2

8

18

При любом x ≠ 0 значение функции y = x2 в 2 раза больше соответствующих значений функции y = x2. То есть график функции y = x2 можно получить из параболы y = x2 растяжением от оси x в 2 раза.

Аналогично, график функции y = 3x2 можно получить из графика функции y = x2 растяжением от оси x в 3 раза.

Построим теперь в одной системе координат графики функции y = x2, y=12x2, y=13x2.

y=12x2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

4,5

2

0,5

0

0,5

2

4,5

Заметим, что при любом x ≠ 0 значения функции y=12x2меньше соответствующих значений функции y = x2 в 2 раза.

Таким образом, график функции y=12x2 можно получить из параболы y = x2 сжатием к оси x в 2 раза.

y=13x2

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

3

43

13

0

13

43

3

Аналогично график функции y=13x2 можно получить из графика функции = x2 сжатием к оси x в 3 раза.

Давай сделаем вывод:

График функции y = ax2 можно получить из параболы y = x2 растяжением от оси x в a раз, если a > 1, и сжатием к оси x в 1a раз, если 0 < a < 1.

Рассмотрим теперь случай, когда a < 0. Построим график функции y=-13x2. Составим таблицу значений:

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

-3

-43

-13

0

-13

-43

-3

Сравним графики функций y=13x2 и y=-13x2. При любом x ≠ 0 значения этих функций являются противоположными числами. Значит, соответствующие точки графиков симметричны относительно оси x.

То есть графики функций y = ax2 и y = -ax2 при a ≠ 0 симметричны относительно оси x. Графиком функции y = ax2, как и графиком функции y = x2 является парабола

Сформулируем свойства функции y = ax2 при a > 0.

  1. Область определения -;+;
  2. Область значений функций 0;+
  3. Если x = 0, то y = 0, т.е. график функции проходит через начало координат.
  4. Если x ≠ 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
  5. График функции симметричен относительно оси y.
  6. Функция убывает в промежутке -;0 и возрастает в промежутке 0;+.
  7. При x = 0 функция принимает наименьшее значение, равное 0. Наибольшего значения функции нет.

Сформулируем свойства функции y = ax2 при a < 0.

  1. Область определения -;+;
  2. Область значений функций -;0
  3. Если x = 0, то y = 0, т.е. график функции проходит через начало координат.
  4. Если x ≠ 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
  5. График функции симметричен относительно оси y.
  6. Функция убывает в промежутке 0;+ и возрастает в промежутке -;0.
  7. При x = 0 функция принимает наибольшее значение, равное 0. Наименьшего значения функции нет.

От коэффициента a зависит направление ветвей параболы. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Построение графика, симметричного данному относительно оси x, или сжатие к оси x – различные виды преобразований графиков функций. Преобразования графиков функции, рассмотренные нами сегодня для функций y = ax2, применимы к любой функции.

График функции y=-fx можно получить из графика функции y=fx с помощью симметрии относительно оси абсцисс.

График функции y=afx можно получить из графика функции y=fx с помощью растяжения от оси x в a раз, если a > 1, и сжатием к оси x в 1a раз, если 0 < a < 1.