Математика

Тема 4.

Всем привет! Сегодня мы поговорим об одной из самых важных функций, о квадратичной функции.

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать y = ax² + bx + c, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Изучение квадратичной функции мы начнем с частного случая, а именно с функции y = ax². Мы уже встречались с функцией y = x², когда a = 1. Ее графиком является парабола.

Построим в одной системе координат

y = x²; y = 2x²; y = 3x².

y = x²

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	$9$	$4$	1	0	1	$4$	$9$

y = 2x²

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	$18$	$8$	2	0	2	$8$	$18$

При любом x ≠ 0 значение функции y = 2x² в 2 раза больше соответствующих значений функции y = x². То есть график функции y = 2x² можно получить из параболы y = x²растяжением от оси x в 2 раза.

 

 

Аналогично, график функции y = 3x² можно получить из графика функции y = x² растяжением от оси x в 3 раза.

Построим теперь в одной системе координат графики функции y = x², $y=\frac{1}{2}{x}^2$, $\mathit{y}=\frac{1}{3}{x}^2$.

$y=\frac{1}{2}{x}^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	4,5	2	0,5	0	0,5	2	4,5

Заметим, что при любом x ≠ 0 значения функции $y=\frac{1}{2}{x}^2$меньше соответствующих значений функции y = x² в 2 раза.

Таким образом, график функции $y={\frac{1}{2}x}^2$ можно получить из параболы y = x² сжатием к оси x в 2 раза.

$y=\frac{1}{3}{x}^2$

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	3	$\frac{4}{3}$	$\frac{1}{3}$	0	$\frac{1}{3}$	$\frac{4}{3}$	3

Аналогично график функции $y=\frac{1}{3}{x}^2$ можно получить из графика функции = x² сжатием к оси x в 3 раза.

 

 

Давай сделаем вывод:

График функции y = ax² можно получить из параболы y = x² растяжением от оси x в a раз, если a > 1, и сжатием к оси x в $\frac{1}{a}$ раз, если 0 < a < 1.

Рассмотрим теперь случай, когда a < 0. Построим график функции $y=-{\frac{1}{3}x}^2$. Составим таблицу значений:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-3	$-\frac{4}{3}$	$-\frac{1}{3}$	0	$-\frac{1}{3}$	$-\frac{4}{3}$	-3

Сравним графики функций $y={\frac{1}{3}x}^2$ и $\mathit{y}=-{\frac{1}{3}x}^2$. При любом x ≠ 0 значения этих функций являются противоположными числами. Значит, соответствующие точки графиков симметричны относительно оси x.

 

 

То есть графики функций y = ax² и y = -ax² при a ≠ 0 симметричны относительно оси x. Графиком функции y = ax², как и графиком функции y = x² является парабола

Сформулируем свойства функции y = ax² при a > 0.

1. Область определения $\left(-\infty ;+\infty \right);$
2. Область значений функций $\left[0;\left.+\infty \right)\right.$
3. Если x = 0, то y = 0, т.е. график функции проходит через начало координат.
4. Если x ≠ 0, то y > 0. График функции расположен в верхней полуплоскости.
5. График функции симметричен относительно оси y.
6. Функция убывает в промежутке $\left(-\infty ;\left.0\right]\right.$ и возрастает в промежутке $\left[0;\left.+\infty \right)\right.$.
7. При x = 0 функция принимает наименьшее значение, равное 0. Наибольшего значения функции нет.

Сформулируем свойства функции y = ax² при a < 0.

1. Область определения $\left(-\infty ;+\infty \right);$
2. Область значений функций $\left(-\infty ;\left.0\right]\right.$
3. Если x = 0, то y = 0, т.е. график функции проходит через начало координат.
4. Если x ≠ 0, то y < 0. График функции расположен в нижней полуплоскости.
5. График функции симметричен относительно оси y.
6. Функция убывает в промежутке $\left[0;\left.+\infty \right)\right.$ и возрастает в промежутке $\left(-\infty ;\left.0\right]\right.$.
7. При x = 0 функция принимает наибольшее значение, равное 0. Наименьшего значения функции нет.

От коэффициента a зависит направление ветвей параболы. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Построение графика, симметричного данному относительно оси x, или сжатие к оси x – различные виды преобразований графиков функций. Преобразования графиков функции, рассмотренные нами сегодня для функций y = ax², применимы к любой функции.

График функции $y=-f\left(x\right)$ можно получить из графика функции $y=f\left(x\right)$ с помощью симметрии относительно оси абсцисс.

График функции $y=af\left(x\right)$ можно получить из графика функции $y=f\left(x\right)$ с помощью растяжения от оси x в a раз, если a > 1, и сжатием к оси x в $\frac{1}{a}$ раз, если 0 < a < 1.