Математика

Тема 23.

Понятие вектора. Равенство векторов. Откладывание вектора от данной точки.

Сегодня мы вспомним что такое вектор, дадим определение равным векторам.

Многие физические величины, скорость, характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами или векторами.

Рассмотрим произвольный отрезок. Его концы называются так же граничными точками отрезка.

На отрезке можно указать два направления: от одной граничной точки до другой и наоборот.

Чтобы выбрать одно из направлений, одну граничную точку назовем началом отрезка, а другую – концом и будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Определение:

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом, называется направленным отрезком или вектором.

Вектор изображается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Векторы обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелками над ними, например, $\overrightarrow{\mathit{АВ}}$. Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец. Векторы часто обозначают и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней: $\overrightarrow{a,}\vec{b},\vec{c}$.

Любая точка плоскости также является вектором. В этом случае вектор называется нулевым. Начало нулевого вектора совпадает с его концом, на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: $\overrightarrow{\mathit{ММ}}$. Нулевой вектор обозначается так же символом $\vec{0}$.

Длиной или модулем ненулевого вектора $\overrightarrow{\mathit{АВ}}$ называется длина отрезка АВ. Обозначается так: $\left|\overrightarrow{\mathit{АВ}}\right|$. Длина нулевого вектора $\left|\overrightarrow{\mathit{ММ}}\right|=0.$

Рассмотрим движение тела, при котором все его точки движутся с одной и той же скоростью и в одном и том же направлении.

Скорость каждой точки М тела является векторной величиной, поэтому ее можно изобразить направленным отрезком, начало которого совпадает с точкой М. Так как все точки тела движутся с одной и той же скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости этих точек, имеют одно и то же направление и длины их равны.

Введем понятие коллинеарных векторов.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых; нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они могут быть направлены либо одинаково, либо противоположно. В первом случае векторы называются сонаправленными, а во втором – противоположно направленными. Сонаправленность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается следующим образом: $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$. Если же векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены, то обозначают так: $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$.

Дадим теперь определение равных векторов.

Определение: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Таким образом векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны, если $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$ и $\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|$. Равенство векторов обозначается так: $\vec{a}=\vec{b}$.

Если точка А – начало вектора $\vec{a}$, то говорят, что вектор $\vec{a}$ отложен от точки А.

Итак, от любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору $\vec{a}$ и притом только один.

$$

Замечание:

Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек.