Математика

Тема 24.

Сумма векторов. Разность векторов.

Рассмотрим пример. Пусть материальная точка переместилась из точки A в точку B, а затем из точки B в точку C. В результате этих перемещений, которые можно представить векторами $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ и $\overrightarrow{\mathit{BC}}$, материальная точка переместилась из точки A в точку C. Поэтому результирующее перемещение можно представить вектором $\overrightarrow{\mathit{AC}}$. Поскольку перемещение из точки A в точку C складывается из перемещения из A в B и перемещения из B в C, то вектор $\overrightarrow{\mathit{AC}}$ естественно назвать суммой векторов $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ и $\overrightarrow{\mathit{BC}}$:$\overrightarrow{\mathit{AC}}$=$\overrightarrow{\mathit{AB}}$+$\overrightarrow{\mathit{BC}}.$

Рассмотренный пример приводит нас к понятию суммы двух векторов.

Пусть $\vec{a}$ и $\vec{b}$ – два вектора. Отметим произвольную точку A и отложим от этой точки вектор $\overrightarrow{\mathit{AB}}$ равный $\vec{a}$. Затем от точки B отложим вектор $\overrightarrow{\mathit{BC}}$, равный $\vec{b}$. Вектор $\overrightarrow{\mathit{AC}}$ называется суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Рисунок это поясняет.

Сумма векторов$\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается так: $\vec{a}+\vec{b}$.

Складывая по правилу треугольника произвольный вектор $\vec{a}$ с нулевым вектором, получаем, что для любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство

$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$

Правило треугольника можно сформулировать также следующим образом: если A, B и C – произвольные точки, то $\overrightarrow{\mathit{AB}}+\overrightarrow{\mathit{BC}}=\overrightarrow{\mathit{AC}}$.

Это равенство справедливо для произвольных точек A, B и C, в частности, в том случае, когда две из них или даже все три совпадают.

Теорема

Для любых векторов $\vec{a},\vec{b}$ и $\vec{c}$ справедливы равенства:

1. $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ (переместительный закон).

2. $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}=\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$ (сочетательный закон).

Докажем первое равенство. Рассмотрим случай, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. От произвольной точки A отложим векторы ABAD и на этих векторах построим параллелограмм ABCD. По правилу треугольника $\overrightarrow{\mathit{AC}}=\overrightarrow{\mathit{AB}}+\overrightarrow{\mathit{BC}}=\vec{a}+\vec{b}$. Аналогично $\overrightarrow{\mathit{AC}}=\overrightarrow{\mathit{AD}}+\overrightarrow{\mathit{DC}}=\vec{b}+\vec{a}$. Отсюда следует, что $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$.

При доказательстве первого свойства мы обосновали так называемое правило параллелограмма сложения неколлинеарных векторов: чтобы сложить неколлинеарные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, нужно отложить от какой-нибудь точки A векторы $\overrightarrow{\mathit{AB}}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{\mathit{AD}}=\vec{b}$ и построить параллелограмм ABCD. Тогда вектор $\overrightarrow{\mathit{AC}}$ равен $\vec{a}+\vec{b}$. Правило параллелограмма часто используется в физике, например при сложении двух сил.

Сложение нескольких векторов производится следующим образом: первый вектор складывается со вторым, затем их сумма складывается с третьим вектором и т.д. Из законов сложения векторов следует, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются. Например, от произвольной точки A отложен вектор $\overrightarrow{\mathit{AB}}=\vec{a}$, затем от точки B отложен вектор $\overrightarrow{\mathit{BC}}=\vec{b}$ и, наконец, от точки $С$ отложен вектор $\overrightarrow{\mathit{CD}}=\vec{c}$. В результате получается вектор $\overrightarrow{\mathit{AD}}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$.

Аналогично можно построить сумму четырех, пяти и вообще любого числа векторов. Это правило построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.

Разностью векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ называется такой вектор, сумма которого с вектором $\vec{b}$ равна вектору $\vec{a}$.

Разность векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается так$:\vec{a}-\vec{b}$.

Рассмотрим задачу о построении двух векторов.

Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Построить вектор $\vec{a}-\vec{b}$.

Отметим на плоскости произвольную точку O и отложим от этой точки векторы $\overrightarrow{\mathit{OA}}=\vec{a}$ и $\overrightarrow{\mathit{OB}}=\vec{b}$.

По правилу треугольника $\overrightarrow{\mathit{OB}}+\overrightarrow{\mathit{BA}}=\overrightarrow{\mathit{OA}}$ или $\vec{b}+\overrightarrow{\mathit{BA}}=\vec{a}$. Таким образом, сумма векторов $\overrightarrow{\mathit{BA}}$ и $\vec{b}$ равна $\vec{a}$. По определению разности векторов это означает, что $\overrightarrow{\mathit{BA}}=\vec{a}-\vec{b}$, то есть вектор $\overrightarrow{\mathit{BA}}$ искомый.

Пусть $\vec{a}$ – произвольный ненулевой вектор. Вектор $\overrightarrow{a_1}$ называется противоположным вектору $\vec{a}$, если векторы $\vec{a}$ и $\overrightarrow{a_1}$ имеют равные длины и противоположно направлены.

Вектор, противоположный вектору $\vec{a}$, обозначается так: $-\vec{a}$. Очевидно, что $\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}$.

Теорема

Для любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $\vec{a}$$-$$\vec{b}=\vec{a}+\left(-\vec{b}\right)$.

Сегодня мы научились складывать и вычитать векторы. Узнали правило треугольника, правило параллелограмма и правило многоугольника.