Математика

Тема 5: Метод координат

Урок 7: Уравнение прямой

  • Видео
  • Тренажер
  • Теория
Заметили ошибку?

Тема 29.

Уравнение прямой.

Выведем уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат. Отметим две точки Ax1;y1 и Bx2;y2 так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Если точка M(x; y) лежит на прямой l, то AM = BM или AM 2 = BM 2, то есть координаты точки M удовлетворяют уравнению

x-x12+y-y12=x-x22+y-y22

Если же точка M(x; y) не лежит на прямой l, то AM 2BM 2, и, значит, координаты точки M не удовлетворяют уравнению этому уравнению. Следовательно, данное уравнение является уравнением прямой l в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение принимает вид ax + by + c = 0, где

a=2x1-x2,

b=2y1-y2,   

c=x22+y22-x12-y12.

Так как A(x1; y1) и B(x2; y2) — различные точки, то хотя бы одна из разностей (x1 - x2) и (y1 - y2) не равна нулю, т.е. хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Выведем уравнение прямой l, проходящей через точку M0(x0; y0) и параллельной оси Ox.

Ордината любой точки M(x; y) прямой l равна y0, т.е. координаты любой точки M(x; y)прямой l удовлетворяют уравнению y = y0. В то же время координаты любой точки, не лежащей на прямой l, этому уравнению не удовлетворяют.

Следовательно, уравнение y = y0 является уравнением прямой l. Аналогично уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0; y0) параллельно оси Oy, имеет вид x = x0.

Ясно, что ось Ox имеет уравнение y = 0, а ось Oy — уравнение x = 0.

Рассмотрим несколько примеров:

  1. Напишем уравнение прямой, проходящей через точки A(1; -1) и B(-3; 2).

    Уравнение прямой AB: ax + by + c = 0.

    Так как точки A и B лежат на прямой AB, то их координаты удовлетворяют этому уравнению, значит, можно подставить координаты этих точек в данное уравнение, получим:

    a1+b(-1)+c=0,a-3+b2+c=0,

    a-b+c=0,-3a+2b+c=0,      a=b-c,-3b-c+2b+c=0,    a=b-c,-3b+3c+2b+c=0,

    a=b-c,-b+4c=0,         a=4c-c,b=4c,       a=3c,b=4c.

    3cx + 4cx + c = 0, c ≠ 0

    3x + 4x + 1 = 0

    Ответ: 3x + 4x + 1 = 0.

  2. Написать уравнение прямой, содержащей медиану CM треугольника ABC, если точка A(4; 6), B(-4; 0), C(-1; -4).

    CM – медиана треугольника, следовательно, M – середина стороны AB.

    Пусть точка M(x; y), тогда найдем координаты середины AB, получим:

    x=4-42=0                 y=6+02=3

    Напишем уравнение прямой, проходящей через точки M(0; 3) и C(-1; -4). Любая прямая имеет вид: ax + by + c = 0.

    a0+b3+c=0,a-1+b-4+c=0,       3b+c=0,-a-4b+c=0,

    b=-c3,a=c-4b,         b=-c3,a=c+43c,     b=-c3,a=73c,

    73cx-13cy+c=0, c0

    73x-13y+1=0,

    Умножим обе части данного уравнения на 3, получим:

    7x - y + 3 = 0 – это и есть уравнение медианы CM.

    Ответ: 7x - y + 3 = 0