Математика

Тема 29.

Уравнение прямой.

Выведем уравнение данной прямой l в заданной прямоугольной системе координат. Отметим две точки $A\left(x_1;y_1\right)$ и $B\left(x_2;y_2\right)$ так, чтобы прямая l была серединным перпендикуляром к отрезку AB.

Если точка M(x; y) лежит на прямой l, то AM = BM или AM ² = BM ², то есть координаты точки M удовлетворяют уравнению

${\left(x-x_1\right)}^2+{\left(y-y_1\right)}^2={\left(x-x_2\right)}^2+{\left(y-y_2\right)}^2\mathrm{}\mathrm{}$

Если же точка M(x; y) не лежит на прямой l, то AM ² ≠ BM ², и, значит, координаты точки M не удовлетворяют уравнению этому уравнению. Следовательно, данное уравнение является уравнением прямой l в заданной системе координат. После возведения выражений в скобках в квадрат и приведения подобных членов уравнение принимает вид ax + by + c = 0, где

$a=2\left(x_1-x_2\right),$

$b=2{\left(y_1-y_2\right)}_{,\mathit{ }}$

$c=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2.$

Так как A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) — различные точки, то хотя бы одна из разностей (x₁ - x₂) и (y₁ - y₂) не равна нулю, т.е. хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

Выведем уравнение прямой l, проходящей через точку M₀(x₀; y₀) и параллельной оси Ox.

Ордината любой точки M(x; y) прямой l равна y₀, т.е. координаты любой точки M(x; y)прямой l удовлетворяют уравнению y = y₀. В то же время координаты любой точки, не лежащей на прямой l, этому уравнению не удовлетворяют.

Следовательно, уравнение y = y₀ является уравнением прямой l. Аналогично уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀; y₀) параллельно оси Oy, имеет вид x = x₀.

Ясно, что ось Ox имеет уравнение y = 0, а ось Oy — уравнение x = 0.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Напишем уравнение прямой, проходящей через точки A(1; -1) и B(-3; 2).

   Уравнение прямой AB: ax + by + c = 0.

   Так как точки A и B лежат на прямой AB, то их координаты удовлетворяют этому уравнению, значит, можно подставить координаты этих точек в данное уравнение, получим:

   $\left\{\begin{array}{c}a\bullet 1+b\bullet (-1)+c=0,\\ a\bullet \left(-3\right)+b\bullet 2+c=0,\end{array}\right.$

   $\left\{\begin{array}{c}a-b+c=0,\\ -3a+2b+c=0,\end{array}\right.$      $\left\{\begin{array}{c}a=b-c,\\ -3\left(b-c\right)+2b+c=0,\end{array}\right.$    $\left\{\begin{array}{c}a=b-c,\\ -3b+3c+2b+c=0,\end{array}\right.$

   $\left\{\begin{array}{c}a=b-c,\\ -b+4c=0,\end{array}\right.$         $\left\{\begin{array}{c}a=4c-c,\\ b=4c,\end{array}\right.$       $\left\{\begin{array}{c}a=3c,\\ b=4c.\end{array}\right.$

   3cx + 4cx + c = 0, c ≠ 0

   3x + 4x + 1 = 0

   Ответ: 3x + 4x + 1 = 0.

2. Написать уравнение прямой, содержащей медиану CM треугольника ABC, если точка A(4; 6), B(-4; 0), C(-1; -4).

   CM – медиана треугольника, следовательно, M – середина стороны AB.

   Пусть точка M(x; y), тогда найдем координаты середины AB, получим:

   $x=\frac{4-4}{2}=0\mathrm{ y}=\frac{6+0}{2}=3$

   Напишем уравнение прямой, проходящей через точки M(0; 3) и C(-1; -4). Любая прямая имеет вид: ax + by + c = 0.

   $\left\{\begin{array}{c}a\bullet 0+b\bullet 3+c=0,\\ a\bullet \left(-1\right)+b\bullet \left(-4\right)+c=0,\end{array}\right.$       $\left\{\begin{array}{c}3b+c=0,\\ -a-4b+c=0,\end{array}\right.$

   $\left\{\begin{array}{c}b=-\frac{c}{3},\\ a=c-4b,\end{array}\right.$    $\mathit{ }\left\{\begin{array}{c}b=-\frac{c}{3},\\ a=c+\frac{4}{3}c,\end{array}\right.$     $\left\{\begin{array}{c}b=-\frac{c}{3},\\ a=\frac{7}{3}c,\end{array}\right.$

   $\frac{7}{3}\mathit{cx}-\frac{1}{3}\mathit{cy}+c=0,\mathit{c}\ne 0$

   $\frac{7}{3}x-\frac{1}{3}y+1=0,$

   Умножим обе части данного уравнения на 3, получим:

   7x - y + 3 = 0 – это и есть уравнение медианы CM.

   Ответ: 7x - y + 3 = 0