Математика

Тема 28.

Уравнение линии на плоскости.

Уравнение окружности.

При изучении алгебры мы строили графики некоторых функций в прямоугольной системе координат, например, график функции у = x. Известно, что графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат O(0; 0). Координаты любой точки M(x; y), лежащей на прямой ОА удовлетворяют уравнению у = x, а координаты любой точки, не лежащей на прямой ОА, этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что уравнение у = x является уравнением прямой ОА.

Введем теперь понятие уравнения произвольной линии.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy и дана некоторая линия L. Уравнение с двумя переменными x и y называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

При изучении линий методом координат возникают две задачи: 1) по геометрическим свойствам данной линии найти ее уравнение; 2) обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать ее геометрические свойства.

Выведем уравнение окружности радиуса r с центром C в заданной прямоугольной системе координат. Пусть точка C имеет координаты (x₀; y₀)

Расстояние от произвольной точки M(x; y) до точки C вычисляется по формуле

$\mathit{MC}=\sqrt{{\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2}$. Если точка M лежит на данной окружности, то MC = r, или MC² = r², т.е. координаты точки M удовлетворяют уравнению

${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2$= $r^2$ (1)

Если же точка M(x; y) не лежит на данной окружности, то MC² ≠ r², и, значит координаты точки не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(x₀; y₀) имеет вид:

${\left(x-x_0\right)}^2+{\left(y-y_0\right)}^2$= $r^2$

В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:

$x^2+y^2$= $r^2$.

Найти уравнение окружности с центром в точке (-3; 4), проходящей через начало координат.

Центр окружности имеет координаты (-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности можно записать в виде${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=r^2$, где r – пока неизвестный радиус окружности. Найдем его. Для этого воспользуемся тем, что окружность проходит через начало координат, т.е. точка O(0; 0) удовлетворяет этому уравнению: (0 + 3)² + (0 - 4)² = r². Отсюда r² = 25, и, значит, r = 5. Итак, искомое уравнение окружности имеет вид

${\left(x+3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=25$

Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то получится уравнение $x^2$+$y^2$+$6x\mathit{–}8y$$=0$, которое также является уравнением данной окружности.

Решим еще одну задачу.

Напишем уравнение окружности с диаметром MN, если точка M(-3; 5), а точка N(7; -3).

Для того, чтобы написать уравнение окружности, необходимо найти координаты центра этой окружности. А это середина диаметра. Пусть O(x; y) – середина диаметра. Итак,

$x=\frac{-3+7}{2}=2$ $y=\frac{5-3}{2}=1$, значит O(2; 1)

Найдем теперь радиус MO, то есть найдем расстояние между точками M и O, получим:

$\mathit{MO}=\sqrt{{\left(2-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(1-5\right)}^2}=\sqrt{41}$

Подставим все в уравнение окружности:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=41$

Сегодня мы вывели уравнение окружности, а в следующий раз мы выведем уравнение прямой.