Математика

Тема 14: Метод координат. Профильный уровень

Урок 2: Координаты вектора

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Определение вектора

Вектором (от лат. vector – «переносчик») называется направленный отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически векторы изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины (см. Рис. 1).

Рис. 1. Вектор

Вектор, начало которого есть точка , а конец – точка , обозначается (см. Рис. 1). Также векторы обозначают одной маленькой буквой, например .

Коллинеарные векторы. Сонаправленные и противоположно направленные векторы

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых: (см. Рис. 2).

Рис. 2. Коллинеарные векторы

Два коллинеарных вектора и называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: (см. Рис. 2).

Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленнымивекторами, если их направления противоположны: (см. Рис. 2).

Равные векторы

Векторы и называются равными, если они сонаправлены и их абсолютные величины равны (см. Рис. 3).

, если: 1.

Рис. 3. Равные векторы

Умножение вектора на число

Произведение ненулевого вектора начисло – это вектор, коллинеарный данному (сонаправленный данному, если число положительное, имеющий противоположное направление, если число отрицательное), а его модуль равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа (см. Рис. 4).

Рис. 4. Произведение вектора на число

Сложение векторов

(см. Рис. 5)

Рис. 5. Сложение векторов

Координаты коллинеарных векторов

Даны два коллинеарных вектора и (см. Рис. 6), причем .

Рис. 6. Коллинеарные векторы

– это коэффициент пропорциональности (число), для нахождения этого числа необходимо:

1. Если и – это сонаправленные векторы:

2. Если и – это противоположно направленные векторы:

Задание произвольного вектора на плоскости

На плоскости для задания произвольного вектора необходимы две координаты и пара неколлинеарных векторов.

Теорема

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом, то есть для любых неколлинеарных , и для любого найдется единственная пара действительных чисел таких, что .

Доказательство теоремы

Дано: , (см. Рис. 7)

Доказать:

1. ,

2. равенство верно для единственной пары чисел .

Рис. 7. Иллюстрация к доказательству

Доказательство

1. Из точки проведем прямую (параллельно ), на пересечении с осью получим точку (см. Рис. 8). Вектор будет равен:

Рис. 8. Иллюстрация к доказательству

Вектор коллинеарен вектору , следовательно, найдется такое число , которое при умножении на вектор даст нам вектор .

Следовательно:

То есть существует такая пара чисел , что: .

2. Методом от противного докажем, что пара чисел единственна.

Имеем: для

Предположим, что существует другая пара чисел такая, что . Вычтем из первого равенства второе:

Пусть , то есть . Тогда:

Получили, что векторы и коллинеарные: , а это противоречит условию (). Следовательно, .

Аналогично доказывается, что . Таким образом:

Что и требовалось доказать.

Теорему можно сформулировать также следующим образом:

Неколлинеарные векторы и образуют систему координат . Любой третий вектор однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов и : .

Пара действительных чисел – это координаты вектора. То есть вектор имеет координаты .

Задача 1

В системе координат с координатными и построить заданный с координатами .

Решение

Вектора и задают ось и . Необходимо построить вектор :

Эта запись означает:

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Отложим на оси вектор (см. Рис. 9). На оси отложим вектор . Проведем из точки прямую, параллельную оси , а из точки – прямую, параллельную оси . На пересечении этих прямых будет находиться точка . Вектор – это искомый вектор.

Если задана система координат, то под координатами точки на плоскости подразумеваются координаты вектора, проведенного из начала координат в эту точку. Например, в задаче 1 точка имеет координаты .

Задача 2

Построить с координатами .

Решение

Векторы и задают ось и . Необходимо построить вектор :

Эта запись означает:

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Отложим на оси вектор (см. Рис. 10). На оси отложим вектор . Проведем из конца вектора прямую, параллельную оси , а из конца вектора – прямую, параллельную оси . На пересечении этих прямых будет находиться точка . Вектор – это искомый вектор.

Задача 3

Выписать координаты вектора.

Дано:

Решение

Координатами вектора являются числа .

Ответ: .

Задача 4

Найти недостающие координаты и , если известно, что .

Решение

Данное равенство означает, что это один и тот же разложенный по векторам вектор, но записанный иначе. Следовательно, этому вектору соответствует единственная пара . Поэтому: