Математика

Тема 14: Метод координат. Профильный уровень

Урок 3: Координаты, уравнения прямой и окружности

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Координаты

Мы используем числа не только для вычислений, но и, например, для описания фигур: числом задаем длину отрезка, периметр или площадь прямоугольника и т. д.

Более того, с помощью чисел в современном мире может быть задана картинка, музыка или даже видео (поэтому говорят: цифровое телевидение, оцифровать файл и т. д.).

Кроме того, с помощью чисел мы можем задавать положение точки в пространстве – для этого используются координаты.

Такое широкое применение чисел связано с их удобными свойствами: число может выступать в роли имени; числа упорядочены; числа обозначают количества, а значит, можно не только установить порядок, но и найти «расстояние» между элементами.

Положение точки на плоскости и в пространстве удобно описывать с помощью координат. Обычно мы используем прямоугольную декартову систему координат (см. рис. 1).

Рис. 1. Декартова (прямоугольная) система координат

Как мы знаем, координаты точки на плоскости задаются парой чисел. Если эта пара чисел связана каким-то условием, соотношением, то, с одной стороны, это какая-то функциональная зависимость (одной переменной от другой), а с другой – это какое-то множество точек на плоскости, координаты которых удовлетворяют этому соотношению.

Поэтому естественно использовать координаты для эквивалентного способа представления функции – с помощью графика (см. рис. 2). Этот способ иногда бывает удобнее, чем аналитический (с помощью формулы). Потому что позволяет сразу увидеть общие характеристики функции – растет она или убывает, есть ли у нее точки максимума и минимума и т. д. Согласитесь, это разные вещи – изучать город, гуляя по его улицам, или посмотреть на весь город с холма.

Рис. 2. Графический способ задания функции

Задача аль-Хорезми

Координаты являются связующим звеном между алгеброй (числами) и геометрией (фигурами). Во времена Древней Греции или средневековья геометрические методы были развиты намного лучше, чем алгебраические. Поэтому многие задачи, которые сейчас легко решить с использованием формул и преобразований, раньше решали с использованием геометрии.

Рассмотрим в качестве примера решение квадратного уравнение математиком IX века аль-Хорезми (см. рис. 3).

Рис. 3. Мухаммад аль-Хорезми

Сейчас для нас не составляет труда решить такое уравнение:

Но сделаем мы это с использованием алгебраических методов – через дискриминант или теорему Виета:

Задача

Представим, что эти формулы еще не выведены, т. е. неизвестны математикам. А используется преимущественно геометрическая интерпретация. Она может быть такой: , где – это площадь квадрата со стороной , – это площадь прямоугольника со сторонами и . Т. е. нужно подобрать такую длину стороны квадрата , чтобы площадь полученной фигуры была равна (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче аль-Хорезми

Решение

Разобьем прямоугольник на два равных и одну половину отправим вниз (см. рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче аль-Хорезми

Понятно, что площадь фигуры не изменилась, она по-прежнему равна . Достроим снизу квадрат со стороной (см. рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче аль-Хорезми

Площадь квадрата – . Тогда площадь большого квадрата равна:

Следовательно, сторона большого квадрата равна и искомый .

Ответ: .

Мы решили уравнение геометрическим методом. Конечно, мы нашли только один положительный корень. Просто потому, что как только предположили, что – площадь квадрата со стороной , то сразу ограничили: .

Второй корень при таком методе найти не получится. С другой стороны, если мы рассуждаем только в категориях «число – длина отрезка или площадь фигуры», то отрицательные числа для нас в принципе не несут никакого смысла и неинтересны.

Попробуйте решить этим методом несколько уравнений из учебника алгебры. Какие-то получатся, какие-то – нет. Попробуйте выделить тип уравнений, которые можно решить методом аль-Хорезми.

Декартова (прямоугольная) система координат

С помощью чисел можно указывать на различные объекты – называть их, характеризовать их положение и даже описывать их свойства.

Точка на плоскости описывается только своим положением (у нее нет длины, ширины и других характеристик). Для этого мы используем координаты. С их помощью можно решать различные геометрические задачи, т. к., задав расположение точек, мы однозначно задаем расстояние между ними. Т. е. зная координаты точек, мы можем вычислять расстояния между ними. Понятно, что от расстояний можно перейти к углам и т. д.

Дальше мы займемся как раз техникой работы с координатами и их применением для решения различных геометрических задач.

Как мы уже сказали, чтобы описать точку, достаточно задать ее местоположение (координаты), т. к. других характеристик (размеров, формы) у нее нет.

Чтобы задать координаты, нужна система отсчета (система координат). Понятно, что для жителя Калининграда и жителя Владивостока положение Москвы относительно их городов будет определяться по-разному (см. рис. 7).

Рис. 7. Система отсчета

Мы будем использовать прямоугольную (декартову) систему координат, с которой часто встречаемся в жизни (например, она используется при нумерации мест в кинотеатре – ряд, место) (см. рис. 8).

Рис. 8. Прямоугольная (декартова) система координат используется при нумерации мест в кинотеатре

Прямоугольная система координат задается тремя элементами:

1. Начало отсчета, или, что то же самое, начало координат. Это точка, от которой будут отсчитываться все координаты (например, Калининград или Владивосток).

2. Направления. Если смотреть на север, то Калининград для жителя Петербурга будет справа, а для жителя Владивостока – слева. Если на юг, то наоборот.

Направления задаются осями. Сколько нужно осей, зависит от размерности пространства. Если все наши точки расположены на одной прямой, то достаточно будет одной оси – указать, в какую сторону идет отсчет. Для плоскости одной оси уже не хватит – нужно две (например, север-юг и запад-восток). В пространстве уже три измерения (длина, ширина, высота) и, соответственно, нужны три оси.

Система неслучайно называется прямоугольной: углы между любыми двумя ее осями – прямые. Это упрощает вычисление расстояний между точками, т. к. можно использовать теорему Пифагора, а не теорему косинусов. Хотя, в принципе, можно использовать систему координат с любыми углами между осями. Главное, чтобы они нам были известны.

3. Масштаб. Каждую ось нужно проградуировать. Чаще масштаб одинаков, но это не обязательно. Разные оси могут иметь разный масштаб.

Итак, мы будем работать в декартовой (прямоугольной) системе координат на плоскости, у которой две перпендикулярные оси: (ось абсцисс) и (ось ординат). Точка их пересечения – начало координат, ее обычно обозначают буквой . Эта конструкция становится системой координат только после определения масштаба, градуировки осей (обычно отмечают единичные отрезки на каждой из них) (см. рис. 9).

Рис. 9. Декартова (прямоугольная) система координат

Раз у нас две оси, то каждая точка будет задаваться двумя координатами. Каждая из координат показывает, на сколько вдоль соответствующей оси нужно сдвинуться от точки . Знак показывает направление: знак «плюс» – в сторону направления оси, знак «минус» – в противоположную.

Как при надевании рубашки и пиджака важна последовательность (попробуйте сначала надеть пиджак, потом рубашку), так и при записи координат важен порядок записи. Договорились, что первой указывают абсциссу точки, а второй – ординату. Могли договориться и наоборот – это не принципиально. Принципиально, чтобы порядок для всех точек был одинаковым (см. рис. 10).

Рис. 10. Порядок записи координат

Понятно, что для любой точки существует единственная пара координат, а для любой пары координат существует единственная точка на плоскости.

Плоскость, на которой задали систему координат, часто называют координатной плоскостью.

Нахождение расстояния между точками

Пусть даны две точки: и (см. рис. 11).

Рис. 11. Данные точки и

Чему равно расстояние между этими точками? Понятно, что раз точки однозначно заданы своими координатами, то и расстояние между ними должно быть определено, т. е. можно выразить через .

Конечно, можно нанести эти точки на координатную плоскость и измерить расстояние. Но мы уже знаем, что это не будет точным вычислением. Если координата одной из точек равна 000 000, то это просто затруднительно. А самое главное – технологии. Попробуйте заставить компьютер рисовать точки и прикладывать к ним линейку. Поэтому нам необходим алгебраический метод расчета – попробуем вывести формулу, связывающую расстояние между точками с их координатами.

Достроим третью точку , чтобы получился прямоугольный треугольник (см. рис. 12). Его катеты параллельны координатным осям.

Рис. 12. Прямоугольный треугольник

Найти длины катетов не составляет труда, а расстояние между точками и – это длина гипотенузы треугольника. Ее мы найдем по теореме Пифагора:

Модули появляются, т. к. формально нам не сказано, какая из точек находится правее, а какая – выше. Модуль позволяет нам не переживать, что длина стороны треугольника у нас получится отрицательной.

Модули при возведении в квадрат можно убрать:

Тогда:

Итак, зная координаты точек, можно вычислить расстояние между ними.

Пример 1

Найти длину отрезка , если , . См. рис. 13.

Рис. 13. Иллюстрация к примеру 1

Решение

Ответ: .

Нахождение середины отрезка

Еще проще, чем задача на нахождение расстояния между точками, решается задача на нахождение середины отрезка.

Задача 1

Найти координаты точки , которая является серединой отрезка , если , .

Решение

Изобразим точки и . Отметим середину . Она имеет неизвестные нам пока координаты (см. рис. 14).

Рис. 14. Иллюстрация к задаче 1

Т. к. , то по теореме Фалеса на оси расстояние от точки до равно расстоянию от до . Иными словами, лежит посередине между числами и .

Это число . Здесь его легко угадать, а в произвольном случае оно находится как среднее арифметическое:

Аналогично – это среднее арифметическое и :

Ответ: .

В общем виде координаты середины отрезка равны среднему арифметическому соответствующих координат его концов. Для точек и середина отрезка имеет координаты:

Геометрическое место точек

Все геометрические фигуры состоят из точек. Если удалось подобрать исчерпывающее свойство, которое точно описывает местоположение всех точек фигуры, то, значит, мы задали саму фигуру. Такой способ определения фигуры называют геометрическим местом точек (ГМТ). Мы уже сталкивались с ГМТ раньше: окружность – это множество всех точек, равноудаленных от данной точки.

Отличие ГМТ от графика функции

Итак, ГМТ – множество точек, удовлетворяющих определенному свойству. Если это ввести в систему координат, то определение ГМТ будет очень похоже на определение графика функции.

И это действительно так, более того, график функции – это частный случай ГМТ.

Отличие в том, что для ГМТ нет ограничения – сколько значений может иметь при одном и том же значении . Окружность, например, является ГМТ, но не является графиком функции, т. к. одному и тому же значению может соответствовать не , а значения (см. рис. 15).

Рис. 15. Окружность является ГМТ, но не является графиком функции

Т. е. ГМТ – это любое множество точек на координатной плоскости, а график функции – множество точек, удовлетворяющих определенному условию. Значит, любой график функции является ГМТ, но не любое ГМТ является графиком какой-то функции.

Другие примеры геометрического объекта, который можно определить через ГМТ:

а) серединный перпендикуляр – множество всех точек, равноудаленных от двух данных;

б) биссектриса – множество точек, равноудаленных от сторон данного угла.

Обратите внимание, что ГМТ позволяет перейти от геометрического описания объекта к аналитическому. Для этого необходимо ввести систему координат.

Правую полуплоскость можно определить как ГМТ: если ввести систему координат следующим образом (см. рис. 16), то правой полуплоскостью будет множество точек с положительной абсциссой: .

Рис. 16. Система координат

Общее уравнение прямой

Прямую, проходящую через точку параллельно оси можно задать как множество точек, координата y которых равна : (см. рис. 17). В таком случае говорят, что – уравнение данной прямой.

Рис. 17. Прямая, проходящая через точку параллельно оси

– уравнение прямой, проходящей через точку параллельно оси .

Понятно, что прямые необязательно параллельны осям координат.

На уроках алгебры мы уже изучили линейную функцию, уравнение которой:

Коэффициент определяет наклон прямой, коэффициент – точку пересечения с осью .

Изменяя коэффициенты и , можно получить в качестве графика любую прямую, кроме вертикальной (понятно почему: вертикальная прямая – единственная, которая не может быть графиком функции, т. к. одному значению соответствует бесконечное количество ). Но этот случай мы только что тоже рассмотрели: уравнение такой прямой имеет вид .

Можно ли указать общий вид уравнения, который описывал бы любую прямую? Рассмотрим уравнение: , где коэффициенты и одновременно не равны нулю (иногда это записывают так: – сумма квадратов может равняться тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно ). Это уравнение еще называют общим уравнением прямой.

Возможны три случая:

1. , тогда уравнение принимает вид:

А это, как мы уже знаем, уравнение прямой, параллельной оси (см. рис. 18).

Рис. 18. График прямой

2. , тогда уравнение принимает вид:

А это уравнение прямой, параллельной оси (см. рис. 19).

Рис. 19. График прямой

3. , тогда уравнение можно записать:

Если дроби обозначить и соответственно, то получим уже знакомое уравнение (см. рис. 19):

Рис. 19. График прямой

Таким образом, произвольная прямая может быть задана уравнением:

Итак, обобщим то, что мы уже знаем:

Любое уравнение вида задает прямую (например, , , ). Два последних неполных уравнения задают прямые, параллельные одной из координатных осей.
Для любого такого уравнения мы можем начертить прямую в заданной системе координат, которая этим уравнением задается. Как мы знаем, чтобы задать прямую, нужны две точки. Поэтому для построения нам нужно знать координаты любых двух точек, принадлежащих этой прямой.

Например: . Возьмем произвольное значение , например и подставим в уравнение: , . Т. е. точка принадлежит прямой.

Если , то , . Точка тоже принадлежит прямой.

Осталось провести прямую через эти две точки.

А как решить обратную задачу – по данной прямой восстановить ее уравнение? Все просто: нужно выбрать любые две точки этой прямой (выписать их координаты) и подставить в уравнение прямой. Получится система уравнений, в которой неизвестные – это коэффициенты. Решив систему, найдем коэффициенты, а значит, восстановим уравнение прямой. Попробуйте сделать это самостоятельно, подробное решение смотрите ниже.

Уравнение прямой

Выберем любые две точки на прямой – например, и (см. рис. 20).

Рис. 20. Иллюстрация к задаче

Подставим их координаты в общее уравнение прямой . Получим:

На первый взгляд, получилась система с тремя неизвестными и двумя уравнениями. Может показаться, что информации для ее решения маловато. Но попробуем выразить все коэффициенты через один, например через :

Подставим полученные выражения в общее уравнение прямой:

Поскольку коэффициенты и одновременно не могут равняться , то не может равняться . Значит, обе части уравнения можно сократить на :

Можно привести это уравнение к более «красивому» виду:

Несложно убедиться, что координаты обеих выбранных точек будут удовлетворять этому уравнению.

Почему оказалось достаточно двух уравнений, чтобы найти три коэффициента? На самом деле, если вспомнить уравнение линейной функции: , то станет понятно, что все прямые, кроме вертикальных, описываются уравнением с двумя неизвестными коэффициентами. А для вертикальных прямых в уравнении вообще одна неизвестная.

Таким образом, просто удобное обобщение, которое позволяет не задумываться о разных типах прямых (отсюда и название – общее уравнение прямой). Зная, какой из коэффициентов, или не равен , всегда можно разделить обе части уравнения на этот коэффициент и получить уравнение с двумя неизвестными коэффициентами.

Если попробуете подставить эти же координаты в уравнение , то получите систему с двумя уравнениями и двумя неизвестными, которую мы умеем решать:

В результате уравнение получится таким:

Это и логично: раз прямая однозначно задается двумя точками, то и ее уравнение должно быть «восстанавливаемым» по координатам двух точек.

То, что у нас получаются разные уравнения для описания одной и той же прямой, не должно вызывать удивления: мы знаем, что умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же число не меняет множества решений уравнения, т. е. получается уравнение, эквивалентное исходному. Поэтому уравнения прямых и будут задавать одну и ту же прямую.

На самом деле, в этом нет ничего нового – когда мы решали системы линейных уравнений, то рассматривали уравнения, у которых все коэффициенты пропорциональны – в этом случае оба уравнения системы были эквивалентны, получалось одно уравнение, у которого бесконечно много пар решений. В графическом методе решения это означало, что прямые, которые задаются этими уравнениями, совпадают.

Уравнение окружности

Уравнение окружности получить еще проще. Действительно, в определении окружности фигурируют два объекта: центр (заданная точка) и расстояние от центра до любой другой точки (радиус).

Рассмотрим окружность с центром в точке и радиусом . Выберем точку на окружности (см. рис. 21).

Рис. 21. Окружность с центром в точке и радиусом , – произвольная точка

Записать уравнение окружности – значит выделить свойство, которому соответствуют координаты всех точек окружности и только они. Все точки окружности удалены от центра на одно расстояние . И наоборот, все точки, удаленные от на расстояние , будут принадлежать данной окружности. Расстояние между двумя точками мы определять умеем:

Или, если возвести в квадрат обе части:

Это и есть уравнение окружности, где и – координаты ее центра, а – ее радиус.

Задача 2. Записать уравнение окружности с центров в точке и радиусом (см. рис. 22).

Рис. 22. Иллюстрация к задаче 2

Решение

Иногда правую часть так и оставляют, не вычисляя, чтобы сразу было видно, чему равен радиус окружности.

Ответ: .

Задача 3. Какую кривую задают уравнения , ?

Решение

Первое уравнение можно переписать так:

Это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом (см. рис. 23).

Рис. 23. Иллюстрация к задаче 3

У второго уравнения выделим квадрат правой части и эквивалентно перепишем первую скобку:

Это уравнение с центром в точке и радиусом (см. рис. 24).

Рис. 24. Иллюстрация к задаче 3

Заключение

На следующем уроке мы займемся решением различных задач, связанных с векторами, координатами и уравнениями геометрических фигур.

Список литературы

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2017.
Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В./Под ред. Садовничего В.А. Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: издательство «Просвещение», 2018.
Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., Геометрия, 9 класс. Учебник. – М.: издательский центр «ВЕНТАНА-ГРАФ», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал fxyz.ru
Интернет-портал cleverstudents.ru
Интернет-портал yaklass.ru

Домашнее задание

Даны координаты вершин треугольника : , , . Доказать, что треугольник равнобедренный, и найти высоту треугольника, проведенную из вершины .
Даны координаты вершин трапеции : , , , . Написать уравнение прямой, содержащей диагональ трапеции .
Построить окружность, заданную уравнением: .