Математика

Обзор основных сведений и формул для векторов в координатах

 

В координатной плоскости любой вектор  однозначно разлагается по векторам  и  

 

Числа  определяются единственным образом и называются координатами вектора  в данной системе координат (рис. 1).

Рис. 1. Координаты вектора

Если есть точка , то вектор с началом в начале координат, который называется радиус-вектором точки , имеет те же самые координаты: .

Основываясь на этом, мы рассмотрели 3 стандартные задачи:

Определение координат середины отрезка по координатам концов отрезка и  

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Определение длины вектора  с координатами .

 

Определение длины отрезка  по координатам концов  и .

Теперь применим эти сведения для решения задач.

 

Решение задач с использованием метода координат

 

 

Задача 1.

 

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Дан треугольник с вершинами . Найти медиану .     

Дано:

           ;

           

           

Найти: .

Решение:

Найдем координаты точки  как середины отрезка ВС:

Найдем длину отрезка :

.

Ответ: .

Задача 2.

Вершина  параллелограмма  лежит на положительной полуоси , вершина  имеет координаты ; . Найти координаты точки  сторону  диагональ .

Решение:

Построим данный параллелограмм в прямоугольной системе координат (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Так как , то координаты точки  . Пусть координаты точки .

Так как  параллелограмм, то ;

Координаты равны, следовательно,

Итак, ;

 так как вектор  имеет те же координаты, что и точка .

 так как координаты вектора  совпадают с координатами точки

Ответ: ;

Задача 3.

Найти периметр треугольника, если известны координаты его вершин (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Дано: 

            

            ;

 .

Найти: периметр .

Решение:

Воспользуемся формулой вычисления расстояния между точками.

Найдем длину :

Найдем длину :

Найдем длину :

Найдем периметр:

Ответ:

 

Заключение

 

 

Мы сделали обзор сведений о координатах, о простейших задачах и применили эти сведения для решения конкретных геометрических задач.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. E-science.ru (Источник).
3. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 943, 945, 947.