Математика
Тема 14: Метод координат. Профильный уровеньУрок 7: Простейшие задачи в координатах
- Видео
- Тренажер
- Теория
Основные сведения о координатах вектора (напоминание)
Любой вектор 
разлагается по векторам 
и 
однозначно:
.
Если известно начало вектора – точка 
и конец вектора – точка 
то координаты вектора 
то есть из координат конца нужно вычесть координаты начала.
Через координаты векторов мы умеем находить их сумму, разность и произведение на число.
Пользуясь всем этим, рассмотрим три опорные задачи:
Координаты середины отрезка
Задача 1. Координаты середины отрезка.
Дано: отрезок АВ; ; 
; С – середина АВ.
Найти: координаты точки 
.
Решение (рис. 1):
Рис. 1. Иллюстрация к задаче
Построим векторы 
, 
и 
.
Найдем вектор :
Другим путем:
.
Сложим:
Так как С – середина отрезка и векторы 
и 
противонаправлены, то 
, следовательно 
.
Найдем координаты вектора 
Координаты вектора совпадают с координатами точки 
, координаты вектора совпадают с координатами точки 
.
Координаты вектора совпадают с координатами точки , следовательно
Определение длины вектора
Задача 2. Вычисление длины вектора по его координатам.
Дано: вектор 
Найти: длину вектора 
.
Решение (рис. 2):
Рис. 2. Иллюстрация к задаче
Задан вектор , отложим его от начала координат, получим вектор с началом в точке 
и концом в точке .
это проекция на ось 
;
это проекция на ось 
По теореме Пифагора 
Если вектор задан своими координатами, то его длина находится по формуле:
Формула расстояния между точками
Задача 3. Вычисление расстояния между точками.
Дано: точки 
и 
.
Найти: расстояние 
между точками.
Решение (рис. 3):
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Рассмотрим вектор 
. Из координат конца вычтем координаты начала:
.
Теперь нужно найти длину этого вектора.
Для этого отложим его от начала координат (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Получаем точки и 
; 
Раз векторы равны, то координаты точки 
(
равны координатам вектора .
(По формуле, полученной в задаче 2).
Решение задач
Задача 4.
Дано: отрезок 
, точка 
и точка 
середина .
Найти: координаты точки .
Решение (рис. 5):
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Каждая координата точки 
равна полусумме соответствующих координат точек 
Находим 
:
Ответ: 
Задача 5.
Дано: 
.
Найти: расстояние =
Решение (рис. 6):
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Ответ: 
Заключение
Итак, мы рассмотрели три простейшие опорные задачи и применили их для решения конкретных примеров. Эти опорные задачи далее будут использоваться при решении более сложных задач.
Список литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 936; 938; 940.
