Математика

Определение окружности

 

Начнем с определения, что такое окружность. Вот одно из неверных определений.

 

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, от центра.

В чем ошибочность?

Давайте рассмотрим множество из четырех вершин квадрата. Все вершины квадрата равноудалены от одной точки, от центра квадрата. Но ведь это не окружность, а совсем небольшая часть окружности.

Дадим правильное определение окружности.

Окружностью называется множество ВСЕХ точек плоскости, равноудаленных от одной точки – от центра. Ключевое слово здесь «всех», это важно, так как мы хотим вывести уравнение окружности.

 

Формула расстояния между двумя точками (напоминание)

 

 

В определении окружности фигурирует расстояние между точкой окружности и центром.

 

Формула расстояния между двумя точками  и

или

Рис. 1. Расстояние между двумя точками

Опираясь на формулу и определение окружности, можно вывести уравнение окружности с центром в точке  радиуса .

Рис. 2. Уравнение окружности

Выбираем произвольную точку  на этой окружности.

Если точка  принадлежит окружности с центром  и радиусом , то .

Тогда  и координаты точки  удовлетворяют уравнению окружности

.

Если же точка  не лежит на окружности, то  и координаты точки  не удовлетворяют уравнению окружности.

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке  радиуса  имеет вид:

.

Частный случай уравнения окружности с центром в точке :

.

 

Решение задач

 

 

Рассмотрим задачи на уравнение окружности.

 

Задача 1.

Начертить окружность, заданную уравнением , указать ее центр и радиус. Найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение:

Центр этой окружности, исходя из уравнения, точка , радиус .

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Длина окружности и площадь круга вычисляются по формулам:

 .

Общие точки с осью х:;  с осью у: ;

Задача 2.

Дано уравнение окружности: .

Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение:

Центр этой окружности точка , радиус .

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Если известен радиус, то по формулам можно вычислить длину окружности и площадь круга:

Точки пересечения с осями:

С осью х: точка это точка касания, ее координаты

Найдем точки пересечения с осью

Ось  имеет уравнение , подставив  в уравнение окружности, получим уравнение относительно :

Итак, точки пересечения с осью у: ; .

Задача 3.

Дано уравнение окружности: .

Указать центр и радиус, найти длину окружности и площадь круга, общие точки с осями координат.

Решение: центр этой окружности точка  радиус

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

; .

Точки пересечения с осями:

С осью у: точка касания .

С осью : ось  имеет уравнение , подставляем в уравнение окружности :

Итак, точки пересечения с осью y: ; .

Задача 4.

Начертить окружность, заданную уравнением , указать ее центр, радиус. Найти точки пересечения с осями.

Решение:

Центр этой окружности точка адиус .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Точки пересечения с осями:

С осью у: уравнение оси   подставляем в уравнение окружности:

                      и            

Точки пересечения с осью у:  

С осью х: уравнение оси    подставляем в уравнение окружности:

        и            

Точки пересечения с осью х:  

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Найти длину хорды .

Решение (рис. 8):

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Зная координаты точек  и , по формуле расстояния между точками находим длину хорды:

Найти координаты точки  – середины отрезка .

Решение (рис. 9):

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Координаты концов отрезка  известны, координаты середины отрезка определяем по формулам:

Найти площадь треугольника .

Решение (рис. 10):

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Треугольник  равносторонний,

;

Задача 5.

Окружность задана уравнением .

Не пользуясь чертежом, укажите какие из точек  лежат:

а) внутри круга, ограниченного данной окружностью;

б) на окружности;

в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

Решение:

Центр окружности – точка  радиус

Для того чтобы проверить, где расположена точка относительно окружности, будем вычислять расстояние от точки до центра окружности и сравнивать его с радиусом.

Точка :

 т.  лежит вне круга.

Точка :

 т.  лежит на окружности.

Точка

 т.  лежит внутри круга.

Точка :

 т.  лежит вне круга.

Задача 6.

Составить уравнение окружности с диаметром , если

Решение: найдем координаты центра окружности , это координаты середины отрезка

 

Найдем радиус, это половина диаметра:

 – уравнение окружности.

 

Заключение

 

 

Итак, мы вывели уравнение окружности и использовали его для решения простейших задач. На следующем уроке мы продолжим изучать уравнение окружности и будем использовать его для решения более сложных задач.

 

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. E-science.ru (Источник).
3. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010., №№ 959, 960, 962.