Математика

Уравнение окружности

 

Уравнение окружности с центром в точке  и радиусом  имеет вид:

 

 

 

 

 и  – это координаты точки , лежащей на этой окружности.

 

Задача 1

 

 

Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности, найдите центр окружности и ее радиус:

 

 

1.

 

2.

 

Решение

 

1.

 

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

 

2.

 

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

 

 

 

 

 

Воспользуемся формулой квадрата суммы и разности. В обеих скобках есть квадрат первого выражения и удвоенное произведение, не хватает квадрата второго выражения, прибавим и отнимем его:

 

 

 

 

 

 

 

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

 

---

 

Задачи с использованием метода выделения полного квадрата

Выясните, является ли данное уравнение уравнением окружности, найдите центр окружности и ее радиус:

 

1.

 

2.

 

Решение

 

1.

 

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как  и  (квадрат выражения больше или равен нулю), то выражение в левой части уравнения больше нуля. Следовательно, это уравнение не имеет решения и не является уравнением окружности.

 

Доказать отсутствие решений у исходного уравнения можно также с помощью дискриминанта. Для этого рассмотрим это уравнение как квадратное относительно  с параметром .

 

 

 

 

 

Мы получили квадратный трехчлен с такими коэффициентами:

- коэффициент при  – ;

- коэффициент при  – ;

- свободный член зависит от параметра  – .

 

Найдем корни данного уравнения по известной формуле:

 

 

 

 

 

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

 

 

Видно, что подкоренное выражение меньше нуля. А так как подкоренное выражение равно четверти дискриминанта, то и дискриминант будет отрицательным числом.

 

 

 

Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

 

2.

 

Преобразуем данное уравнение с помощью метода выделения полного квадрата:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Данное уравнение является уравнением окружности. Центр окружности – это точка с координатами ; радиус окружности – .

---

 

 

Задача 2

 

 

Напишите уравнение окружности, проходящей через три заданные точки.

 

 

Дано: ; ; .

Найти: уравнение окружности, проходящей через данные точки.

 

Решение

Уравнение окружности задается тремя параметрами , , , поэтому необходимо найти эти параметры.

Так как данные точки лежат на окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению искомой окружности. Подставим координаты точек в уравнение окружности  в общем виде:

:

 

 

 

 

 

:

 

 

 

:

 

 

 

Мы получили систему из трех уравнений относительно трех неизвестных:

 

 

 

Решим эту систему. Вычтем из третьего уравнения первое:

 

 

 

 

 

 

 

Разложим выражение как разность квадратов:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем найденное значение  во все три уравнения системы:

 

 

 

 

 

Видно, что первое и третье уравнение одинаковые, поэтому оставляем только одно из них:

 

 

 

Вычтем из первого уравнение второе:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим найденное значение a в уравнение системы:

 

 

 

 

 

Радиус больше нуля, следовательно:

 

 

 

Мы нашли необходимые три параметра, поэтому можно выписать искомое уравнение окружности:

 

 

 

Ответ:  

 

---

Типовые задачи на нахождение координат точек на окружности

Задача А

Дано:  – центр окружности;  – точка на окружности (см. Рис. 1).

Найти: уравнение окружности.

 

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

 

Решение

Уравнение окружности в общем виде:

 

 

 

Так как координаты центра окружности , то ; . Необходимо найти  – радиус данной окружности.

Нам известны две точки, поэтому радиус определим по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

Выпишем уравнение окружности:

 

 

 

 

 

Ответ: .

 

Уравнение окружности позволяет найти точки на окружности по одной из координат этих точек.

 

Задача Б

Дано:  – уравнение окружности; ордината искомых точек равна 3 (см. Рис. 2).

Найти: точки окружности с ординатой, равной 3.

 

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

 

Решение

Уравнение данной окружности , следовательно, координаты ее центра , а радиус равен 5.

На рисунке видно, что необходимо найти координаты точек  и  (абсциссы данных точек).

Точки  и  лежат на окружности, поэтому их координаты удовлетворяют уравнению этой окружности. Для этих точек известно, что их ординаты равны 3. Получаем систему уравнений:

 

 

 

 

 

 

 

 или

 

Таким образом, координаты точки , а координаты точки .

 

Ответ: , .

---

 

 

Задача 3

 

 

Напишите уравнение окружности, проходящей через две заданные точки , , если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

 

 

Дано:, ,  (см. Рис. 3).

Найти: уравнение окружности.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Решение

Уравнение данной окружности будет иметь следующий вид:

 

 

 

Нам необходимо найти  и .

1-й способ:

Так как окружность проходит через точки  и , то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставляем эти координаты в уравнение и получаем систему уравнений:

 

 

 

 

 

Правые части данных уравнений равны, поэтому равны и левые части:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим данное значение в одно из уравнений системы:

 

 

 

 

Радиус – это положительное число, поэтому радиус равен:

 

 

 

Мы нашли все три параметра, задающих уравнение окружности, выпишем это уравнение:

 

 

 

 

2-й способ

Центр окружности лежит на серединном перпендикуляре  к отрезку . Теорема Пифагора для треугольника  задает искомое уравнение (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

В треугольнике : катет , гипотенуза , катет . Согласно теореме Пифагора:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, ордината центра окружности будет равна:

 

 

 

Выпишем уравнение окружности:

 

 

 

Ответ: .

 

---

Задачи на геометрическое место точек

Геометрический смысл уравнения окружности и неравенств, вытекающих из этого уравнения (см. Рис. 5)

 

1. Уравнению  удовлетворяют только те точки  и  плоскости, которые лежат на окружности с центром в точке с координатами  и радиусом .

 

2. Неравенству  удовлетворяют все точки, лежащие внутри окружности с центром в точке с координатами  и радиусом . Такое неравенство задает круг.

 

3. Неравенство  задает внешность круга (без окружности).

Рис. 5. Геометрический смысл уравнения окружности и неравенств, вытекающих из этого уравнения

Задача А

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

 

 

 

Решение

1.  

 

 

 

Выделяем полный квадрат:

 

 

 

 

 

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатами  и радиусом  (см. Рис. 6).

 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

2. Площадь круга вычисляется по формуле:

 

 

 

Подставляем известное значение радиуса:

 

 

 

Ответ: .

 

Задача Б

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

 

 

Решение

Из данного неравенства видно симметрию по . То есть если  – это одно из решений неравенства, то  – тоже одно из решений (см. Рис. 7).

Рис. 7. Симметрия относительно

Таким образом, нам необходимо решить задачу при , а далее использовать симметрию относительно .

Пусть , тогда . Следовательно, имеем неравенство без модуля:

 

 

 

 

 

Выделяем полный квадрат:

 

 

 

 

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатами  и радиусом  (см. Рис. 8).

 

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Используем симметрию относительно  и получаем искомое геометрическое место точек, то есть множество всех точек, которые удовлетворяют неравенству  (см. Рис. 9).

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

2. У нас получились два одинаковых круга, поэтому для нахождения площади этой фигуры необходимо площадь круга умножить на 2:

 

 

Подставляем значение радиуса:

 

Ответ: .

 

Задача В

Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством, и вычислите ее площадь.

 

 

 

Решение

Из данного неравенства видно симметрию по  и по , то есть допускается замена  на ,  на . Таким образом, если  – это одно из решений неравенства, то и , ,  – тоже одно из решений (см. Рис. 10).

Нам необходимо решить задачу при , , а далее использовать симметрию относительно  и .

Рис. 10. Симметрия относительно  и

Пусть, , тогда , . Следовательно, имеем неравенство без модуля:

 

 

 

 

 

 

 

Выделяем полный квадрат:

 

 

 

 

 

 

 

Данное неравенство задает круг, ограниченный окружностью с центром в точке с координатами  и радиусом  (см. Рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Используем симметрию относительно  и  и получаем искомое геометрическое место точек, то есть множество всех точек, которые удовлетворяют неравенству  (см. Рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к задаче

2. У нас получилось 4 одинаковых круга, поэтому для нахождения площади этой фигуры необходимо площадь круга умножить на 4:

 

Подставляем значение радиуса:

 

Ответ: .

---

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Pm298.ru» (Источник)

2. Интернет портал «Profmeter.com.ua» (Источник)

3. Видеохостинг  «YouTube» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Задачи 961, 970 – Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия, 7-9.

2. Доказать, что уравнение  является уравнением окружности. Найти ее центр и радиус.