Математика

Тема 11: Прогрессии. Профильный уровень

Урок 1: Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Последовательность как математический инструмент

Математика создает инструменты, которые помогают описывать и структурировать различные вещи, которые нас окружают. Одним из таких инструментов является числовая последовательность.

Само слово «последовательность» мы часто используем в обычной жизни. Чем последовательность отличается от произвольного набора? Тем, что в последовательности важен порядок ее элементов. Например, мы говорим про алгоритм, т. е. про последовательность действий, когда нам важно, что нужно сделать первым, что вторым и т. д. Так, мы сначала надеваем рубашку, потом – пиджак. А вот разницы, какой носок сначала надеть – левый или правый – для нас обычно нет. График дежурств по школе определяет последовательность, в которой классы должны убирать и следить за порядком в школе (см. рис. 1).

Рис. 1. График дежурств по школе определяет последовательность

А вот алфавит – это набор букв. Да, мы договорились об определенном порядке: – первая буква алфавита, – вторая и т. д., так нам удобно его запоминать и работать с ним. Но, по сути, никакого значения этот порядок не имеет. С таким же успехом можно было считать первой буквой алфавита букву или .

Что же такое последовательность как математический инструмент? Обратите внимание, что поскольку для последовательности важен порядок элементов, то для их нумерации можно использовать числа – и т. д. Например, класс дежурит каждую пятую неделю: в первую, шестую и т. д. (см. рис. 2).

Рис. 2. Расписание дежурств

Алгоритм можно расписать по пунктам:

надеть рубашку;
надеть пиджак;
…

Числовая последовательность

Мы будем изучать числовые последовательности, т. е. последовательности, элементами которых являются числа.

Номер телефона можно считать числовой последовательностью: . Пин-код кредитной карты или телефона тоже примеры числовых последовательностей: .

Это действительно последовательности, а не наборы чисел – если поменять местами цифры в номере телефона, то получится совершенно другой номер. А введя нужные цифры пин-кода, но в неправильном порядке, вы не разблокируете смартфон.

Приведенные выше примеры числовых последовательностей – это конечные последовательности, ведь они содержат конечное количество элементов. Могут быть и бесконечные последовательности. Ряд натуральных чисел – это простейший пример бесконечной числовой последовательности:

Поскольку одна из функций натуральных чисел – это задание порядка, то логично, что именно натуральные числа мы будем использовать для нумерации других последовательностей.

Например, последовательность простых чисел:

Первое простое число – , второе простое число – , третье – и т. д. Для удобства записи принято обозначать элементы последовательности латинскими буквами, а их номер указывать индексом. Например, в последовательности простых чисел :

При этом элементы числовой последовательности принято называть членами последовательности.

Аналитический способ задания последовательности

А как можно задать числовую последовательность? Если последовательность конечная, то можно просто перечислить все ее члены. Можно описать свойства элементов последовательности. Например, «простые числа в порядке возрастания» или «последовательность домов нечетной стороны проспекта Гагарина». Есть ли еще какие-то способы задания последовательности?

Мы сказали, что члены последовательности можно нумеровать натуральными числами. Посмотрим на это с другой стороны: мы ставим в соответствие натуральному числу некоторое число:

Знакомо? Да это же определение функции! Только аргументом ее могут быть не любые действительные числа, а только натуральные. Т. е. последовательность можно задать как функцию натурального аргумента. Сравните записи:

1. – значение функции при аргументе :

2. – член последовательности с номером :

На самом деле, мы можем записать даже так:

Тогда мы увидим полное сходство с обозначением функции. Но принято номер записывать не в скобках, а нижним индексом. Поэтому дальше будем придерживаться общепринятого обозначения:

Рассмотрим последовательность, которая задана следующим образом:

Такой способ задания последовательности, с помощью формулы, называют аналитическим. Подставляя вместо натуральные числа, мы получим члены этой последовательности:

Получим последовательность четных чисел. Обратите внимание: последовательность натуральных чисел содержит последовательность четных чисел:

Т. е. кажется, что натуральных чисел больше. Но мы же только что показали, что каждому натуральному числу мы можем поставить в соответствие четное число . Значит, их должно быть одинаковое количество! В чем же подвох?

Дело в том, что привычный нам инструмент «количество» имеет свои ограничения. Он помогает сравнивать множества с конечным набором элементов. А для бесконечных множеств уже не подходит.

Что же делать с бесконечными множествами? Вспомним, что количество мы использовали для сравнения, сопоставления элементов конечных множеств. Во множестве больше элементов, чем во множестве , если мы не можем найти пару для элемента из (см. рис. 3).

Рис. 3. Во множестве больше элементов, чем во множестве

Этот инструмент можно расширить и на бесконечные множества – если между элементами множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то они в каком-то смысле эквивалентны по количеству элементов. Но, т. к. термин «количество» мы оставили для конечных множеств, то для бесконечных множеств этот инструмент расширили и назвали мощность. Подробнее об этом ниже.

Мощность множества

Итак, у двух конечных множеств одинаковое количество элементов, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Например, пальцев и машин (см. рис. 4) (в детстве мы именно так и учились считать – загибали палец для каждого следующего элемента множества).

Рис. 4. У двух конечных множеств одинаковое количество элементов, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие: пальцев – машин

А как сравнить количество капель в озере и количество деревьев в лесу? Понятно, что в нашем понимании оба множества можно считать бесконечными. Интуитивно мы понимаем, что количество капель в озере больше (потому что само понятие капли, в отличие от дерева, гораздо более «размытое»). Но когда мы говорим о математическом инструменте, необходимо дать строгое определение.

Обобщим идею сопоставления элементов для бесконечных множеств. Говорят, что если между элементами двух множеств можно установить взаимно однозначное соответствие, то их мощности равны (см. рис. 5).

Рис. 5. Множества с равной мощностью

Для конечных множеств мощность – это просто количество элементов ( – мощность множества):

Для бесконечных множеств за эталон берется натуральный числовой ряд:

Все множества, элементы которых можно занумеровать натуральными числами, называются счетными. Если же между элементами бесконечного множества и натуральными числами нельзя установить взаимно однозначное соответствие, то такие множества называются несчетными (см. рис. 6).

Рис. 6. Множество действительных чисел – пример несчетного множества

Мы показали, что между всеми натуральными и всеми четными числами можно установить такое соответствие, значит, мощности этих множеств равны. Даже несмотря на то, что натуральных чисел «кажется, больше». Т. е. множество четных чисел тоже счетное.

Интересно, что можно установить взаимно однозначное соответствие между натуральными числами и целыми, т. е. можно пронумеровать все целые числа! Опять же, может показаться, что целых должно быть почти в раза больше, ведь это все натуральные, столько же обратных, да еще и ноль. Но так сравнивать бесконечные множества не получится. Можно сравнивать их «мощности», и они будут равны.

Покажем это: числу поставим в соответствие . Далее нумеруем поочередно: положительное, отрицательное, положительное, отрицательное.

Таким образом, мы установим взаимооднозначное соответствие между целыми и натуральными числами, значит, мощности этих множеств равны. И множество целых чисел тоже счетное.

Еще более интересно то, что все рациональные числа также можно пронумеровать! Можете самостоятельно попробовать придумать, как это сделать. Т. е. множества натуральных , целых , рациональных чисел – счетные. А вот множество действительных чисел – несчетное. Можно сказать, что действительных чисел в каком-то смысле больше, чем рациональных. Для мощности множества действительных чисел даже ввели специальное название – континуум (от лат. continuum – непрерывное, сплошное).

Возрастающая и убывающая последовательности

Как мы уже сказали, последовательность можно задать как функцию натурального аргумента. Соответственно, для работы с последовательностями нам пригодятся все те навыки, которые мы приобрели при работе с функциями. Кроме того, характеристики функций можно использовать и для описания последовательностей.

Например, возрастающая последовательность – это последовательность, у которой каждый член больше предыдущего:

И наоборот, убывающая последовательность – это последовательность, у которой каждый член меньше предыдущего:

Задание 1. Найти первый отрицательный член последовательности:

Решение.

Член последовательности должен быть отрицательным:

Решаем неравенство:

Переменная – это номер члена последовательности, т. е. натуральное число. Нужно найти первый отрицательный член последовательности, т. е. его номер должен быть наименьшим натуральным числом, которое больше . Это число , тогда:

Ответ: .

Задание 2. Найти номер наименьшего члена последовательности:

Решение.

Чтобы найти наименьшее значение выражения, выделим полный квадрат:

Перепишем последовательность:

Т. к. , то:

Т. е. минимально возможное значение равно . Но достигается оно при , а должно быть натуральным числом. Таким образом, член последовательности будет наименьшим при ближайших натуральных значениях :

Проверим:

Получили одинаковые значения, именно они и будут наименьшими.

Ответ: .

Рекуррентный способ задания последовательности. Числа Фибоначчи

Существует еще один способ задать последовательность. Можно задать один или несколько первых членов последовательности и правило, по которому следует искать последующие члены. Например, первый член последовательности равен единице, каждый следующий равен квадрату предыдущего плюс . Записать мы это можем так:

Действительно, для -го члена последовательности предыдущим является -й.

Такой способ задания последовательности (следующий член через один или несколько предыдущих) называется рекуррентным.

Рекурсия и фракталы

Рекурсия – это определение объекта через себя. Этот прием используется, например, в искусстве (см. рис. 7).

Рис 7. Пример использования рекурсии в искусстве – картина Сальвадора Дали «Моя жена, обнаженная, смотрит на собственное тело»

Одним из самых известных примеров рекурсии в литературе является стихотворение: «У попа была собака…». В информатике рекурсивной называется функция или процедура, которая вызывает сама себя. Поэтому способ задания следующих членов последовательности через предыдущие называется рекуррентным.

Еще один пример самоподобного математического объекта – это фрактал. Определение фрактала можно сформулировать так: фрактал – это множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближенно совпадающий с частью себя самого, т. е. целое имеет ту же форму, что и одна или более частей).

Один из самых простых примеров фрактала – снежинка Коха. На отрезке добавим два отрезка следующим образом (см. рис. 8):

Рис. 8. На отрезке добавили два отрезка

Затем на каждом из получившихся отрезков снова добавим по два отрезка и т. д. В результате получится такая кривая (см. рис. 9):

Рис. 9. Снежинка Коха

Существуют и гораздо более сложные и красивые фрактальные множества (см. рис. 10).

Рис. 10. Пример более сложного фрактала

При этом примеры фракталов можно встретить как в живой природе, так и в неживой: береговая линия, морозные узоры и т. д. (см. рис. 11).

Рис. 11. Пример фракталов в живой и неживой природе

Наиболее известная рекуррентная последовательность – это последовательность чисел Фибоначчи. В ней первые два члена равны , каждый следующий равен сумме двух предыдущих:

Задание 3. Найти все члены последовательности Фибоначчи, не превышающие .

Решение.

Первые два члена последовательности Фибоначчи:

Ищем остальные члены, используя рекуррентную формулу:

Тогда:

-й член уже больше , все последующие будут также больше , поскольку последовательность, очевидно, возрастающая.

Ответ: .

Числа Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи – одна из самых популярных числовых последовательностей. И связано это с тем, как часто она встречается.

Возникла она в результате анализа идеальной биологической модели: есть пара кроликов (самец и самка), со второго месяца после рождения у них начинает появляться потомство – одна пара кроликов каждый месяц, каждая из которых также начинает производить потомство со второго месяца после рождения (см. рис. 12). Сколько пар кроликов будет через год?

Рис. 12. Идеальная биологическая модель

В начале первого и второго месяца у нас одна пара:

В начале третьего месяца у первой пары появляется потомство:

В начале четвертого месяца у первой пары появляется второе потомство:

В начале пятого месяца у первой и второй пары появляется потомство (см. рис. 13):

Рис. 13. Количество пар кроликов с первого по пятый месяц

Получаем, что в начале n-го месяца количество пар будет равно количеству пар в предыдущем месяце количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар два месяца назад (см. рис. 14):

Рис. 14. В начале n-го месяца количество пар будет равно количеству пар в предыдущем месяце количество новорожденных пар, которых будет столько же, сколько пар два месяца назад

Существует много различных утверждений, связанных с числами Фибоначчи в окружающей природе: так, считается, что расположение листьев у растений описывается последовательностью чисел Фибоначчи. Семена подсолнуха, сосновые шишки, лепестки цветов и даже ячейки ананаса также описываются этой последовательностью.

Вместе с тем ряд исследователей подвергают сомнению эти утверждения и доказывают, что все полученные результаты – это подгонка под желаемый результат.

Но есть один факт о числах Фибоначчи, который не подлежит сомнению – следующее отношение:

Это число называется золотым сечением.

Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей как большая ко всему отрезку (см. рис. 15):

Рис. 15. Деление отрезка на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей части как большая часть ко всему отрезку

Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

Золотое сечение использовалось и используется во многих произведениях искусства (см. рис. 16), а также встречается в живой природе (см. рис. 17).

Рис. 16. Пример золотого сечения в искусстве – картина В.И. Сурикова «Боярыня Морозова»

Рис. 17. Пример золотого сечения в живой природе

Арифметическая прогрессия

Вернемся к ряду натуральных чисел:

По сути, его тоже можно задать рекуррентным соотношением. Первый член последовательности равен , каждый последующий – на единицу больше:

А что, если будем прибавлять не , а ? Получим:

Или начнем не с , а с и будем прибавлять по ? Получим:

Все эти последовательности обладают одной особенностью: каждый следующий член последовательности отличается от предыдущего на одно и то же число.

Такие последовательности, поскольку они часто встречаются, имеют отдельное название – арифметическая прогрессия. О причинах такого названия мы скажем чуть позже.

Любой процесс, в котором через определенные промежутки времени происходит увеличение или уменьшение на одну и ту же величину, описывается именно арифметической прогрессией.

Например, так называемые «простые проценты». Если банк начисляет вам каждый год , но только на сумму первоначального вклада (к примеру, рублей), то через год на счету будет рублей, через – , через – и т. д.

Как мы увидели, для задания арифметической прогрессии нужно указать первый член и число, которое мы прибавляем. Это число принято называть разностью арифметической прогрессии и обозначать буквой . Тогда в общем виде арифметическая прогрессия задается как:

Почему «разность арифметической прогрессии»? Да потому что разность между двумя соседними членами арифметической прогрессии всегда равна :

Теперь мы можем сказать, почему прогрессия называется арифметической. Рассмотрим три последовательных члена этой прогрессии:

Мы знаем, что:

Тогда:

Или:

Т. е. любой член прогрессии является средним арифметическим своих соседей. Отсюда и название – арифметическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия

Вернемся к примеру с начислением процентов. Предположим, банк начисляет годовых не только на сумму первоначального вклада, но и на всю сумму денег на счету (в том числе и на уже начисленные проценты). Такая схема называется сложными процентами.

Тогда через год на сумму в рублей при ставке начислится рублей процентов, в результате будет:

На следующий год будет:

Еще через год:

Т. е. каждый год сумма вклада будет увеличиваться в одно и то же количество раз.

Такая последовательность, в которой каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же ненулевое число, называется геометрической прогрессией. О названии, опять же, чуть позже.

Чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно задать первый член последовательности и число , на которое будем умножать. Получим:

Число называют знаменателем геометрической прогрессии, поскольку это частное соседних членов прогрессии:

Теперь мы можем сказать, почему прогрессия называется геометрической.

Рассмотрим три последовательных члена этой прогрессии:

Мы знаем, что:

Тогда:

Или, если мы рассмотрим прогрессию из положительных членов (:

Т. е. любой член прогрессии является средним геометрическим своих соседей. Отсюда и название – геометрическая прогрессия.

Среднее геометрическое

Почему средним геометрическим двух положительных чисел называется квадратный корень из их произведения? Это название связано со свойствами прямоугольных треугольников. Как мы знаем, высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу (см. рис. 18), равна среднему геометрическому проекций катетов, а каждый катет равен среднему геометрическому между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Рис. 18. Прямоугольный треугольник с высотой , проведенной к гипотенузе

Это несложно доказать, используя тот факт, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два прямоугольных треугольника, которые подобны друг другу и исходному треугольнику:

Это дает геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков, как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину (см. рис. 19).

Рис. 19. Построили окружность на сумме двух отрезков и , как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, дает искомую величину

Другое название среднего геометрического – среднее пропорциональное:

Задание на определение арифметической и геометрической прогрессий

Более подробно об арифметической и геометрической прогрессиях мы поговорим на следующем уроке. А сейчас разберем задание на определение арифметической и геометрической прогрессий.

Задание 4. Определить значение , при котором числа образуют:

арифметическую прогрессию;
геометрическую прогрессию.

Найти разность и знаменатель этих прогрессий.

Решение

1. Чтобы числа образовывали арифметическую прогрессию необходимо, чтобы разность соседних чисел была одинаковой и равнялась разности арифметической прогрессии :

Получили систему уравнений:

Решая систему, получаем:

Разность прогрессии получилась отрицательной. Но в этом нет ничего страшного. Это всего лишь значит, что прогрессия будет убывающей:

2. Чтобы числа образовывали геометрическую прогрессию необходимо, чтобы частное соседних чисел было одинаковым и равнялось знаменателю геометрической прогрессии :

Решая систему, получаем:

Соответственно:

Получили варианта, удовлетворяющих условию задачи:

a. прогрессию с частным ;

b. прогрессию с частным .

Как видим, частное может принимать и дробные, и отрицательные значения и в этом нет ничего страшного. Во втором случае геометрическая прогрессия называется знакочередующейся (так как любые два соседних члена будут отличаться знаком).

Ответ: 1. ; 2. .

Заключение

Числовая последовательность – это упорядоченный набор чисел. Члены последовательности удобно нумеровать натуральными числами. Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность мы можем задать несколькими способами:

словесно (описать ее члены, например: последовательность четных натуральных чисел);
аналитически (задать формулу n-го члена как функцию натурального аргумента, например: );
рекуррентно (задать несколько первых членов и выразить каждый следующий член через один или несколько предыдущих, например: ).

Частные случаи последовательностей – арифметическая и геометрическая прогрессии.

В арифметической прогрессии каждый последующий член равен сумме предыдущего и разности прогрессии:

В геометрической прогрессии каждый последующий член равен произведению предыдущего на знаменатель прогрессии:

Список литературы

Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра, 9 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет